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课时作业8生活中的优化问题举例|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为()A.cmB100 cmC20 cm D.cm解析：设高为h，体积为V，则底面半径r2202h2400h2，Vr2h(400hh3)，V(4003h2)，令V0，得h或h(舍)答案：A2某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：yt3t236t，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A6时 B7时C8时 D9时解析：yt2t36(t12)(t8)令y0，得t8或t12(舍去)，则当6t0，当8t9时，y0，所以当t8时，通过该路段所用的时间最多故选C.答案：C3某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A150 B200C250 D300解析：由题意得，总利润P(x)令P(x)0，得x300，故选D.答案：D4某厂生产某产品x(万件)的总成本C(x)1 200x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大()A23万件 B25万件C50万件 D75万件解析：设单价为a，由题意知a2且502，k50210025104，a2，即a，总利润yaxC(x)x500 x31 200，y250xx2，令y0得x25，产量定为25万件时总利润最大答案：B5用长为24 m的钢筋做成一个长方体形框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为()A8 m3 B12 m3C16 m3 D24 m3解析：设长方体的底面边长为x，则高为(62x)m，0x150时，则R(x)200(x150)x350xx2.为求最大收益的件数，不妨认为R(x)连续可导，求R(x)3502x.令R(x)0，得x175时，R有最大值答案：1757海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/小时，当速度为10海里/小时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_解析：由题意设燃料费y与航速x间满足yax3(0x30)，又25a103，a.设从甲地到乙地海轮的航速为v，费用为y，则yav340020v2，由y40v0得v200)由L(x)x20，得x25.令L(x)0，得0x25；令L(x)25，得L(x)在区间(0,25)上单调递增，在区间(25，)上单调递减，所以当x25时，总利润最高答案：25三、解答题(每小题10分，共20分)9某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150 cm2，上、下要留1.5 cm空白，左、右要留1 cm空白，出版商为节约纸张，应选用怎样尺寸的页面？解析：设所印文字区域的左右长为x cm，则上下长为 cm，所以纸张的左右长为(x2)cm，上下长为cm，所以纸张的面积S(x2)3x156.所以S3，令S0，解得x10.当x10时，S单调递增；当0x10时，S单调递减所以当x10时，Smin216 (cm2)，此时纸张的左右长为12 cm，上下长为18 cm.故当纸张的边长分别为12 cm,18 cm时最节约10一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？解析：设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知pkv3，因为v10，p6，所以k0.006.于是有p0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v396)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38 000)，令q0，解得v20.当v20时， q20时，q0，所以当v20时，q取得最小值即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最少|能力提升|(20分钟，40分)11若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为()A2R2 BR2C4R2 D.R2解析：设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则x ，S侧2xh2h 2 ，令tR2h2，则t2R2hh3，令t0，得h R(舍负)或h0(舍去)，当0h0，当 Rh2R时，t0)，货款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,4.8%)，则使银行获得最大收益的存款利率为_解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的货款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，故y0.096kx3kx2.令y0，解得x0.032或x0(舍去)当0x0；当0.032x0.048时，y0.因此，当x0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益答案：3.2%13从长为32 cm，宽为20 cm的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解析：设剪去的正方形的边长为x cm，则箱子的容积V(x)x(322x)(202x)(0x10)4x3104x2640x，V(x)12x2208x6404(3x252x160)4(3x40)(x4)令V(x)0，得x1(舍去)，x24.当0x0，当4x10时，V(x)0，所以V(x)在(0,4)内为增函数，在(4,10)内为减函数因此V(x)在(0,10)内有唯一的极大值V(4)，且该极大值即为函数V(x)的最大值，其最大值V(4)4(328)(208)1 152(cm3)答：当剪去的正方形边长为4 cm时，容器的容积最大，最大容积为1 152 cm3.14某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3)(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所以当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又当0x0；当2x3时，g(x)0.故g(x)在0,2)上是增函数，在(2,3上是减函数，所以当x2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，可使该公司由此获得的收益最大
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