苏教版高三数学复习课件3.8正余弦定理的应用.ppt

能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 第8课时正弦定理 余弦定理的应用 1 利用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 2 高考题型主要考查与距离 角度 高度 几何等有关的实际问题 近几年主要是以解答题形式出现 难度不高 所以 在备考中 重在熟练对正 余弦定理的运用 命题预测 1 解与三角形有关的实际问题时 要注意对仰角 俯角 方位角 方向角 铅直平面等术语的理解 与角度有关的实际问题 除了仍要合理应用正 余弦定理和三角形知识外 还要注意弄清仰角 俯角 方向角 方位角等有关术语 解决这类问题的基本步骤 1 弄清题意 作出示意图 标明相关角度和长度 2 选用正确的定理或三角公式求解 3 作答 应试对策 2 解决与高度有关的实际问题的基本步骤 1 准确理解题意和相关名词 术语 2 画出示意图 标出已知条件 3 分析与问题有关的一个或几个三角形 结合直角三角形的知识和正 余弦定理正确求解 射影定理 在 ABC中 a bcosC ccosB b acosC ccosA c bcosA acosB 知识拓展 1 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中 视线在水平线的角叫仰角 在水平线的角叫俯角 如图 2 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图 上方 下方 2 ABC的面积公式有 1 S a ha ha表示a边上的高 2 S absinC R为外接圆半径 3 S r a b c r为内切圆半径 1 在 ABC中 若 A 120 AB 5 BC 7 则 ABC的面积S 解析 由余弦定理BC2 AB2 AC2 2AB AC cos120 解得AC 3 因此 ABC的面积S AB AC sin120 答案 2如图 A B两点间隔有一小山 现选定能直接到达点A B的C点 并测得AC 60m BC 160m ACB 60 则A B两点间的距离为 m 解析 AB 140 m 答案 140 3 2010 济宁一中调研 某人坐在火车上看风景 他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30 角的直线上 1分钟后 他看这宝塔在与火车前进方向成45 角的直线上 设火车的速度是100km h 则宝塔到铁路线的垂直距离等于 km 解析 如图 BCA 45 30 15 AB km AC sin ABC km 所以宝塔到铁路线的垂直距离 AC sin30 km 答案 4 某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来 他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差 则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的大小关系为 解析 由正弦定理 在 BCP中 在 DCP中 由于 BCP DCP 得 又PB PD d1 d2 答案 d1 d2 5 在 ABC中 若 A 60 b 1 S ABC 则的值为 解析 S ABC 即bcsinA c 4 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 13 a 答案 例1 要测量河对岸两点A B之间的距离 选取相距km的C D两点 并测得 ACB 75 BCD 45 ADC 30 ADB 45 求A B之间的距离 思路点拨 作出草图 综合运用正 余弦定理 解 如图所示 在 ACD中 ACD 120 CAD ADC 30 AC CD km 在 BCD中 BCD 45 BDC 75 CBD 60 BC ABC中 由余弦定理 得AB2 3 2 5 AB km A B之间的距离为km 变式1 如图所示 设A B两点在河的两岸 一测量者在A的同侧 在A所在的河岸边选定一点C 测出AC的距离为50m ACB 45 CAB 105 后 就可以计算A B两点的距离为m 解析 由题意知 ABC 30 由正弦定理 AB m 答案 50 例2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔的最大仰角为30 求塔高 思路点拨 依题意画图 某人在C处 AB为塔高 他沿CD前进 CD 40米 此时 DBF 45 从C到D沿途测塔的仰角 只有B到测试点的距离最短时 仰角才最大 这是因为tan AEB AB为定值 BE最小时 仰角最大 要求出塔高AB 必须先求BE 而要求BE 须先求BD 或BC 解 由上图所示 过B作BE CD于点E 由题意知在E点测得塔的最大仰角30 在 BCD中 CD 40 BCD 30 DBC 135 由正弦定理 得 BD 在Rt BED中 BDE 180 135 30 15 BE BDsin15 在Rt ABE中 AEB 30 AB BEtan30 米 故所求的塔高为米 变式2 如图所示 测量河对岸的塔高AB时 可以选定塔底B在同一水平面内的两个测点C与D 现测得 BCD BDC CD s 并在点C测得塔顶A的仰角为 求塔高AB 解 在 BCD中 CBD 由正弦定理得所以BC 在Rt ABC中 AB BCtan ACB 当我们将所求距离或角度的问题转化为一个求三角形的边和角的问题时 若选择的三角形条件不够 这时 我们通常寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持 为我们解这个三角形提供必要的条件 也就是需要我们联合几个三角形多次应用两个定理解决问题 这需要我们首先画出简要的示意图 分析所求和条件的关系 寻求它们直接或间接的联系 例3 在海岸A处发现北偏东45 方向 距A处 1 海里的B处有一艘走私船 在A处北偏西75 方向 距A处2海里的C处的我方缉私船 奉命以10海里 小时的速度追截走私船 此时走私船正以10海里 小时的速度 从B处向北偏东30 方向逃窜 问 缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船 并求出所需时间 思路点拨 求方向的问题可以考虑转化为解三角形的求角问题 分析条件可以选择 ABC 解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时 才能最快截获 在D点 走私船 则CD 10t海里 BD 10t海里 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cosA 1 2 22 2 1 2 cos120 6 BC 海里 又 sin ABC ABC 45 B点在C点的正东方向上 CBD 90 30 120 在 BCD中 由正弦定理 得 sin BCD BCD 30 缉私船应沿北偏东60 的方向行驶 又在 BCD中 CBD 120 BCD 30 D 30 BD BC 即10t t 小时 15分钟 缉私船应沿北偏东60 的方向行驶 才能最快截获走私船 大约需要15分钟 变式3 江苏省高考名校联考信息优化卷 如图 一船由西向东航行 测得某岛的方位角为 前进5km后测得此岛的方位角为 已知该岛的周围3km内有暗礁 现该船继续东行 1 若 2 60 问该船有无触礁的危险 2 当 与 满足什么条件时 该船没有触礁的危险 解 1 如题中图 设海岛M到直线AB的距离MC为d 则由题意有 AC dtan BC dtan 由AC BC AB得dtan dtan 5 d 当 2 60 时 d 3 所以此时没有触礁的危险 2 要使船没有触礁的危险 只要使d 3 即 3成立即可 00 tan tan 所以当 与 满足0 tan tan 时 该船没有触礁的危险 在不同的已知条件下 求三角形面积的问题与解三角形有密切的关系 通常我们要根据已知条件 利用正弦定理 余弦定理求出需要的元素 从而求出三角形的面积 在Rt ABC中 C 90 则 ABC的面积S ab 对于任意 ABC 已知a b及C 则 ABC的面积S absinC 同理三角形的面积还有S acsinB S bcsinA 例4 在 ABC中 若B 30 AB 2 AC 2 则 ABC的面积是多少 思路点拨 已知两边及一边的对角解三角形时 要注意分类讨论 解 由正弦定理得 sinC AB AC C 60 或120 当C 60 时 S ABC AC ABsinA 2 2sin90 2 当C 120 时 S ABC AC ABsinA 2 2sin30 4 如图 ABC是简易遮阳棚 A B是南北方向上两个定点 正东方向射出的太阳光线与地面成40 角 为了使阴影面ABD面积最大 遮阳棚ABC与地面所成的角为 解析 作CE 平面ABD于E 则 CDE是太阳光线与地面所成的角 即 CDE 40 延长DE交直线AB于F 连结CF 则 CFD是遮阳棚与地面所成的角 设为 要使S ABD最大 只需DF最大 在 CFD中 CF为定值 当 50 时 DF最大 答案 50 1 正弦定理 余弦定理在实际生活中 有着广泛的应用 常见题型有距离问题 高度问题 角度问题以及平面图形的面积问题等 2 解实际应用问题 要准确找出仰角 俯角 方位角 同时要注意与平面几何结合 运用正弦定理 余弦定理 发挥题目的隐含条件 从而顺利解决问题 3 解实际问题时 要注意题目中给出的精确度 合理取近似值 规律方法总结 例5 2009 北京卷 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c B cosA b 1 求sinC的值 2 求 ABC的面积 高考真题 分析 1 根据三角形内角和定理 A C B 即C A 只要再根据cosA 求出sinA的值 根据两角差的正弦公式即可求出sinC的值 2 相当于知道了三角形三个内角以及一条边长 只要再求出一条边长就可以根据三角形面积公式求出 ABC的面积 规范解答 1 因为角A B C为 ABC的内角 且B cosA 所以C A sinA 于是sinC sin 2 由 1 知sinA sinC 又因为B b 所以在 ABC中 由正弦定理得a 于是 ABC的面积S absinC 本题初看像是一道纯粹的解三角形的题目 实际上是以考查三角恒等变换为主的一道试题 我们在求出第 1 问后就可以根据正弦定理和三角形面积公式解决问题了 知识链接 三角形内角间的三角函数关系在 ABC中 sinA sin B C cosA cos B C 我们在解题时 要注意这些关系在解决三角形问题中的应用 命题探究 全解密 在三角形中 当已知两个内角的大小或是已知两个内角的三角函数值时 一定能根据三角形内角和定理与两角和的正弦公式 余弦公式求出第三个内角的大小或其三角函数值 方法探究 本题第 1 问也可以根据sinC sin A B 求解 由于cosA sinA B 所以sinC sin A B sinAcosB cosAsinB 第 2 问也可以根据正弦定理 2R R为 ABC的外接圆半径 得R 1 S absinC 2RsinA 2RsinB sinC sinAsinBsinC 只要将第 1 问的结果代入即可 发散思维 1 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 证明 分析 此题主要考查正 余弦定理在证明恒等式中的应用 由等号左边的a2 b2 c2 运用余弦定理进行转化 由等号右边的正弦值 想到运用正弦定理进行转化 证明 由余弦定理 知a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB 两式相减 得a2 b2 b2 a2 2bccosA 2cacosB 由正弦定理 知 2 如图 在 ABC中 BAC 120 AB 2 AC 1 D是边BC上一点 DC 2BD 则 分析 利用余弦定理求出BC边的长 再利用其变式求出角B的余弦值 结合向量的数量积求值 解 由余弦定理得BC2 22 12 2 2 1 7 可得BC 又因为cosB