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北京101中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 下列导数公式正确的是（ ）A. （xn）=nxn B. （）= C. （sinx） =-cosx D. （ex） =ex2. 下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为（ ）X0123PaA. B. C. D. 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A=两次的点数均为偶数，B=两次的点数之和为8，则P（B|A）=（ ）A. B. C. D. 4. 若dx=1-ln3，且a1，则a的值为（ ）A. -3 B. 1n3 C. D. 35. 用数学归纳法证明“l+2+3+n3=，nN*”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式左边加上（ ）A. k3+1 B. （k3+1）+（k3+2）+（k+1）3C. （k+1）3 D. 6. 函数y=ex（x2-3）的大致图象是（ ）A. B. C. D. 7. 已知：p3+q3=2，求证：p+q2用反证法证明时，可假设p+q2；设a为实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于用反证法证明时可假设|f（1）|或|f（2）|以下说法正确的是（ ）A. 与的假设都错误 B. 与的假设都正确C. 的假设正确，的假设错误 D. 的假设错误，的假设正确8. 若函数y=f（x）对任意x（-，）满足f（x）cosx-f（x）sinx0，则下列不等式成立的是（ ）A. f（-）f（-）C. f（-）f（-） D. f（-）f（-）二、填空题共6小题。9. 已知函数f（x）=sinx,则=_.10. 某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为_11. 某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布N（100，2），已知P（800，c0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是_.三、解答题共4小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. 已知函数f（x）=（1-2x）（x2-2）（1）求f（x）的单调区间和极值； （2）若直线y=4x+b是函数y=f（x）图象的一条切线，求b的值16. 随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化某调查机构随机抽取8名购物者进行采访，4名男性购物者中有3名倾向于网购，1名倾向于选择实体店，4名女性购物者中有2名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店（1）若从8名购物者中随机抽取2名，其中男女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率：（2）若从这8名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望17. 已知点Pn（an,bn）满足an+1=anbn+l ，bn+l =（nN*）且点P1的坐标为（1,-1）.（1）求过点P1，P2的直线l的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在（1）中的直线l上18. 已知函数f（x）=-a2 lnx+x2-ax（aR）（1）试讨论函数f（x）的单调性：（2）若函数f（x）在区间（1，e）中有两个零点，求a的取值范围参考答案1D 2A 3C 4C 5B 6C 7A 8B 90 10 1115 12e2-21382014（，）15（1）因为f（x）=-2（x2-2）+（1-2x）2x=-6x2+2x+4令f（x）=0，得3x2-x-2=0，解得x=-或x=1x（-,-）-（-,1）1（1,+）f（x）-0+0-g（x）极小值极大值所以f（x）的单调递增区间为（-，1），单调递减区间为（-，-），（1，+），极小值为f（-）=-，极大值为f（1）=1（2）因为f（x）=-6x2+2x+4，直线y=4x+b是f（x）的切线，设切点为（x0，f（x0），贝f（x0）=-6x+2x0+4=4，解得x0=0或x0=当x0=0时，f（x0）=-2，代入直线方程得b=-2，当x0=时，f（x0）=-，代入直线方程得b=-所以b=-2或-16. （1）设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P（A）=1-P（）=1-=（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，且P（X=k）=，则P（X=0）=，P（X=1）= ，P（X=2）=，P（X=3）=.所以X的分布列为X0123P所以E（X）=0+l+2+3=17. （1）由点P1的坐标为（1，-1）知，a1=1，b1=-1，所以b2=，a2=a1b2=，所以点P2的坐标为（，），所以直线l的方程为2x+y-1=0（2）当n=1时，2a1+b1=21+（-1）=1，命题成立假设n=k（k1，kN*）时命题成立，则2ak+bk=1，所以2ak+1+bk+1=2akbk+1 +bn+l =，所以当n=k+1时，命题也成立由知，对nN*，都有2an+bn=1，即点Pn都在直线l上18（1）f（x）的定义域为（0，+）由f（x）=-a2lnx+x2-ax（aR）可知f（x）=，所以若a0，则当x（0，a）时，f（x）0，则函数f（x）单调递增；若a=0，则当f（x）=2x0在（0，+）内恒成立，函数f（x）单调递增；若a0，则当x（0，-）时，f（x）0，则函数f（x）单调递增（2）若a0，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）单调递增若a0，f（x）在（0，-）单调递减，在（-，+）单调递增由题意，若f（x）在区间（1，e）中有两个零点，则有或得a无解或a（-e，-2）.综上，a（-e，-2）
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