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活页作业(十)排序不等式一、选择题1已知a，b，c都是正数，则a3b3c3与a2bb2cc2a的大小关系是()Aa3b3c3a2bb2cc2aBa3b3c3a2bb2cc2aCa3b3c3QCP0，则aaa，aaa.由排序不等式，得abababaaaaaaa1a2an.PQ，当且仅当a1a2an0时等号成立答案：D4设a1，a2，a3为正数，E，Fa1a2a3，则E，F的大小关系是()AEF解析：不妨设a1a2a30，于是，a2a3a3a1a1a2.由顺序和乱序和，得a1a3a2a3a1a2a1a3a2.答案：B二、填空题5有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为_s.解析：等候的最短时间为3443527141(s)答案：416设0x1x2,0y1x1y2x2y1.易知当x2和y2无限接近于1时，x1y1x2y2无限接近于1.故x1y1x2y2 的值最大故选.答案：三、解答题7设a1，a2，an为1,2，n的一个排列求证：.证明：设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1，c1，c2，cn1为a2，a3，an的一个排列，且c1c2，由乱序和逆序和，得.b11，b22， bn1n1，c12，c23，cn1n，.8已知0a1a2an.求证：a1a2an.证明：0，0，所以ABC0.所以A3ABC由题意，知3n261.所以n21.因为ABC3n164，所以A4.答案：C二、填空题31010111112121313_1013111212111310.解析：因为10111213，且lg 10lg 11lg 1213lg 1012lg 1111lg 1210lg 13.所以lg(1010111112121313) lg(1013111212111310)，即10101111121213131013111212111310.答案：4已知a，b，c都是正数，则_.解析：设abc0，则abacbc.所以.由排序不等式，知，.，得.答案：三、解答题5已知0(sin 2sin 2sin 2)证明：0，且函数ysin x在区间0，为增函数，函数ycos x在区间0，为减函数，0sin sin cos cos 0.根据乱序和逆序和，得sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)6设0a1a2an,0b1b2bn，c1，c2，cn为b1，b2，bn的一个排列，求证：a1a2ana1a2ana1a2an.证明：0a1a2an，lg a1lg a2lg an.0b1b2bn，c1，c2，cn是b1，b2，bn的一个排列，由顺序和乱序和逆序和，可得b1lg a1b2lg a2bnlg anc1lg a1c2lg a2cnlg anbnlg a1bn1lg a2b1lg an，即lg(a1a2an)lg(a1ac22an)lg(a1a2an)a1a2ana1a2ana1a2an.
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