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课时分层作业(九) 椭圆的标准方程及性质的应用(建议用时：40分钟)基础达标练一、选择题1若点P(a,1)在椭圆1的外部，则a的取值范围为()A.B.CD.B由题意知1，即a2，解得a或a0且m3.综上可知，m1且m3，故选B.3椭圆1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()ABCDA设椭圆的右焦点为F2，则原点O是线段F1F2的中点，从而OM綊PF2，则PF2F1F2，由题意知F2(3,0)，由1得y2解得y，从而M的纵坐标为.4椭圆mx2ny21(m0，n0且mn)与直线y1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A. B. C D.A联立方程组可得得(mn)x22nxn10，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0，y01x01.kOP.故选A.5已知椭圆C：y21的右焦点为F，直线l：x2，点Al，线段AF交椭圆C于点B，若3，则|()A.B2CD3A设点A(2，n)，B(x0，y0)由椭圆C：y21知a22，b21，c21，即c1，右焦点F(1,0)由3，得(1，n)3(x01，y0)13(x01)且n3y0.x0，y0n.将x0，y0代入y21，得1.解得n21，|A|.二、填空题6已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为_. 【导学号：46342084】结合条件利用椭圆的性质建立关于a，b，c的方程求解如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)由PFx轴得P.设E(0，m)，又PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.7过椭圆1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_由已知可得直线方程为y2x2，联立方程组解得A(0，2)，B，SAOB|OF|yAyB|.8若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_6由1可得F(1,0)设P(x，y)，2x2，则x2xy2x2x3x2x3(x2)22，当且仅当x2时，取得最大值6.三、解答题9已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 【导学号：46342085】解(1)联立方程组消去y，整理得：5x22mxm210.直线与椭圆有公共点，4m220(m21)2016m20，m.(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由(1)得|AB|x1x2|.m，0m2，当m0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为yx，即xy0.10已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值解(1)由题意得解得c，b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240，设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|，又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d，由，化简得7k42k250，解得k1.能力提升练1设F1，F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则的值等于()A0B2C4D2D由题意得c，又S2S2|F1F2|h(h为F1F2边上的高)，所以当hb1时，S取最大值，此时F1PF2120.所以|cos 120222.故选D.2已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为() 【导学号：46342086】A1B1C1 D1D因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1，消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a218，故选D.3已知F1为椭圆C：y21的左焦点，直线l：yx1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|F1B|的值为_设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，由消去y，得3x24x0.A(0，1)，B.|AB|，|F1A|F1B|4a|AB|4.4已知直线y3x2被椭圆1(ab0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有_(填上直线的代号)y3x2；y3x1；y3x2；y3x2；y3x.椭圆关于原点和坐标轴对称，从而与直线y3x2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y3x2关于原点对称的直线为y3x2，关于x轴对称的直线为y3x2，关于y轴对称的直线为y3x2，故应填.5如图228，已知F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.图228(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且|AF2|2|F2B|，求椭圆的方程. 【导学号：46342087】解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|OF2|，即bc，所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由|AF2|2|F2B|，得2，即(1，b)2(x1，y)，解得x，y，代入1，得1，即1，解得a23，所以b22，故椭圆的方程为1.
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