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活页作业(七)不等式的应用一、选择题1某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0t30)的关系大致满足f(t)t210t16，则该商场前t天平均售出的月饼最少为()A18B27C20 D16解析：平均销售量yt1018，当且仅当t，即t41,30时等号成立，即平均销售量的最小值为18.答案：A2汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0ab，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值()A大 B小C相等 D不能确定解析：设单程为s，则上坡时间t1，下坡时间t2，平均速度为v.答案：B3某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件B80件C100件 D120件解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是220，当且仅当，即x80时取等号答案：B4如图，建立平面直角坐标系，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标则炮的最大射程为()A20 km B10 kmC5 km D15 km解析：令y0，得kx(1k2)x20.由实际意义和题设条件，知x0，k0.故x10，当且仅当k，即k1时取等号所以炮的最大射程为10 km.答案：B二、填空题5设三角形的三边长分别为3,4,5，P是三角形内的一点，则点P到这个三角形三边的距离的积的最大值是_.解析：设点P到三角形三边的距离分别为h1，h2，h3.由题意，得三角形为直角三角形，S346.h13h24h356.3h14h25h3123.h1h2h3.答案：6在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.解析：如图，过点A作AHBC于点H，交DE于点F.易知AFxFH40x.则Sx(40x)2，当且仅当40xx，即x20时取等号所以满足题意的边长x为20 m.答案：20三、解答题7某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元(1)该船捕捞几年后开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)?(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出哪一种方案较为合算？请说明理由解：(1)设捕捞n年后开始盈利，盈利为y元，则y50n982n240n98.由y0，得n220n490.解得10n10(nN)所以3n17.故捕捞3年后开始盈利(2)由(1)，得y2n240n98.所以平均盈利为2n4024012，当且仅当2n，即n7时，年平均盈利最大故经过7年捕捞后平均盈利最大，共盈利12726110(万元)由(1)，得y2n240n982(n10)2102.所以当n10时，函数y的最大值为102.故经过10年捕捞后盈利总额最大，共盈利1028110(万元)因为两种方案盈利相等，但方案的时间长，所以方案合算8某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积是200 m2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数解析式；(2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？解：(1)设DQy m，则x24xy200，即y.所以S4 200x22104xy804y238 0004 000x2(0x10)(2)由(1)，得S38 0004 000x238 0002118 000，当且仅当4 000x2，即x时取等号因为118 000元11.8万元，所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区一、选择题1某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A10B11C13 D21解析：设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y万元，则x年后的设备维护费用为242xx(x1)万元，所以x年的年平均费用为yx1.5万元由平均值不等式，得yx1.51.521.5，当且仅当x，即x10时取等号答案：A2设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)公司决定从原有员工中分流x(0x100，xN)人去进行新开发的产品B的生产分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A15 B16C17 D18解析：由题意，得分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x人后，每年创造的产值为(100x)(11.2x%)t万元则解得0x.因为xN，所以x的最大值为16.答案：B二、填空题3制造一个容积为 m3的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，则当圆柱形桶的底面半径为_m、高为_m时，所使用的材料成本最低解析：设此圆柱形桶的底面半径为rm，高为h m，则底面面积为r2m2，侧面积为2rh m2.设原料成本为y元，则y30r240rh.因为桶的容积为 m3，所以r2h，即rh.所以y30r210103，当且仅当3r2，即r时等号成立，此时h.答案：4设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为_.解析：设底面边长为x，高为h，则x2hV，即h.所以S表2x23xhx23xx233，当且仅当x2，即x 时取等号答案：三、解答题5如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值(1) (2)解：设正六棱柱容器的底面边长为x(x0)，高为h，由下图，可得2hx.所以h(1x)，VS底h6x2hx2(1x)2(1x)93，当且仅当1x，即x时等号成立所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大，为.6某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200 kg，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元(1)该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定：当一次购买饲料不少于5 t时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由解：(1)设该厂应隔x(xN)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1元因为饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.036(元)，所以x天饲料的保管与其他费用共6(x1)6(x2)6(3x23x)元从而有y1(3x23x300)2001.83x357417，当且仅当3x，即x10时取等号故每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少(2)该厂可以考虑利用此优惠条件理由如下：若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2元，则y2(3x23x300)2001.80.853x303(x25)因为y23，所以当x25时，y20，即函数y2在区间25，)上是增函数则当x25时，函数y2取得最小值为390.而390417，故该厂可以考虑利用此优惠条件
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