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26.2求曲线的方程在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(2，3)，(4，1)问题1：求平面上任一点M(x，y)到A点的距离提示：MA.问题2：试列出到点A、B距离相等的点满足的方程提示：MAMB，即. 求曲线方程的一般步骤正确认识求曲线方程的一般步骤：(1)“建立适当的坐标系”所谓“适当”是指若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称轴为坐标轴；其次，可以选曲线上的特殊点作为原点(2)“设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)”这一步实际上是在挖掘形成曲线的条件中所含的等量关系 (3)“列出符合p(M)的方程f(x，y)0.”这里就是等量关系的坐标化，完成这一步需要使用解析几何的基本公式及平面几何、三角等基础知识(4)“化方程f(x，y)0为最简形式”化简时需要使用代数中的恒等变形的方法(5)“说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上”这一步的证明是必要的从教材内容看，这一步不作要求，可以省略，但在完成第(4)步时，所用的变形方法应都是可逆的，否则要作适当说明直接法求曲线方程例1ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，acb，且a，c，b成等差数列，AB2，求顶点C的轨迹方程思路点拨由a，c，b成等差数列可得ab2c；由acb可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB2可建立适当的坐标系于是可按求曲线方程的一般步骤求解. 精解详析以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)，设C点坐标为(x，y)，由已知得ACBC2AB.即 4，整理化简得3x24y2120，即1.又acb，x0且x2.所以顶点C的轨迹方程为1(xcb且a，c，b成等差数列”改为“ABC的周长为6且AB2”，求顶点C的轨迹方程解：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系则A(1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由已知得ACBCAB6.即4.化简整理得3x24y2120，即1.A、B、C三点不能共线，x2.综上，点C的轨迹方程为1(x2)2已知三点O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足| |()2.求曲线C的方程解：由(2x,1y)，(2x,1y)，得|，又()(x，y)(0,2)2y，由已知得 2y2，化简得曲线C的方程是x24y.定义法求曲线方程例2已知圆A：(x2)2y21与定直线l：x1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程思路点拨利用平面几何的知识，分析点P满足的条件为抛物线，可用定义法求解精解详析如图，作PK垂直于直线x1，垂足为K，PQ垂直于直线x2，垂足为Q，则KQ1，所以PQr1，又APr1，所以APPQ，故点P到圆心A(2,0)的距离和到定直线x2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(2,0)为焦点，直线x2为准线2，p4，点P的轨迹方程为y28x.一点通若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征3点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x8的距离的比是12，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解：设d是点F到直线x8的距离，根据题意，得.由圆锥曲线的统一定义可知，点P的轨迹是以F(2,0)为焦点，x8为准线的椭圆，则解得b2a2c216412.故点P的轨迹方程为1.4.如图所示，已知点C为圆(x)2y24的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且0，2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程解：圆(x)2y24的圆心为C(，0)，半径r2，0，2，MQAP，点M为AP的中点，即QM垂直平分AP.连结AQ, 则AQQP，|QCQA|QCQP|CPr2.又|AC|22，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c，a1，得b21，因此点Q的轨迹方程为x2y21.代入法求曲线方程例3动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程思路点拨设出点P、M的坐标，用M的坐标表示P的坐标，再借助M满足的关系即可得到P的坐标所满足的关系精解详析设P(x，y)，M(x0，y0)，P为MB的中点，即又M在曲线x2y21上，(2x3)2(2y)21.P点的轨迹方程为(2x3)24y21.一点通代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线方程，由此即可求得所求动点坐标的轨迹方程5已知圆C的方程为x2y24，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设直线m与y轴的交点为N，若，求动点Q的轨迹方程解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y00)，则点N的坐标为(0，y0)因为，即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0,2y0)，则x0x，y0.又因为点M在圆C上，所以xy4.即x24(y0)所以动点Q的轨迹方程是1(y0)6已知曲线C：y2x1，定点A(3,1)，B为曲线C上的任意一点，点P在线段AB上，且有BPPA12，当B点在曲线C上运动时，求点P的轨迹方程解：设P点坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，由BPPA12，得2，即(3x,1y)2(xx0，yy0)点B(x0，y0)在曲线y2x1上，21.化简得：2.即点P的轨迹方程为2.1求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷2求曲线的方程常用的方法(1)直接法；(2)定义法；(3)相关点代入法；(4)待定系数法等对应课时跟踪训练(十六) 1到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是_解析：设动点M(x，y)，到两坐标轴的距离为|x|，|y|.则|x|y|，x2y2.答案：x2y22等腰三角形底边的两个顶点是B(2,1)，C(0，3)，则另一顶点A的轨迹方程是_解析：设点A的坐标为(x，y)由已知得ABAC，即.化简得 x2y10.点A不能在直线BC上，x1，顶点A的轨迹方程为x2y10(x1)答案：x2y10(x1)3已知两定点A(1,0)，B(2,0)，动点P满足，则P点的轨迹方程是_解析：设P(x，y)，由已知得，化简得：x24xy20.即(x2)2y24.答案：(x2)2y244已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于_解析：设P(x，y)，由题知(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y24，可知圆的面积为4.答案：45已知直线l：2x4y30，P为l上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为12两部分，则Q点的轨迹方程是_解析：据题意，3，设P(x，y)，Q(x，y)，则又P(x，y)在2x4y30上，2(3x)4(3y)30，即2x4y10，即点Q的轨迹方程为2x4y10.答案：2x4y106若动点P在曲线y2x21上移动，求点P与Q(0，1)连线中点M的轨迹方程解：设P(x0，y0)，中点M(x，y)，则又P(x0，y0)在曲线y2x21上，2y12(2x)21，即y4x2.点M的轨迹方程为y4x2.7已知双曲线2x22y21的两个焦点为F1、F2，P为动点，若PF1PF26，求动点P的轨迹E的方程解：依题意双曲线方程可化为1，则F1F22.PF1PF26F1F22，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其方程可设为1(ab0)由2a6,2c2得a3，c1.b2a2c28.则所求椭圆方程为1.故动点P的轨迹E的方程为1.8.如图所示，A(m，m)和B(n，n)两点分别在射线OS，OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足.(1)求mn的值；(2)求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解：(1)由(m，m)(n，n)2mn.得2mn，即mn.(2)设P(x，y)(x0)，由，得(x，y)(m，m)(n，n)(mn，mn)，整理得x24mn，又mn，P点的轨迹方程为x21(x0)它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x21的右支
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