2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步 1.5.1 平行关系的判定学案 北师大版必修2.doc

5.1平行关系的判定学习目标1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义(重点)；2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用(重点)；3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题(重、难点).知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行【预习评价】若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？提示根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误，可能直线在平面内.知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行【预习评价】如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？提示不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一直线与平面平行的判定定理的应用【例1】如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：(1)EH平面BCD；(2)BD平面EFGH.证明(1)EH为ABD的中位线，EHBD.EH平面BCD，BD平面BCD，EH平面BCD.(2)BDEH，BD平面EFGH，EH平面EFGH，BD平面EFGH.规律方法(1)利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.(2)证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.【训练1】已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且APDQ(如图).求证：PQ平面CBE.证明方法一作PMAB交BE于点M，作QNAB交BC于点N，连接MN，如图，则PMQN，.EABD，APDQ，EPBQ.又ABCD，PM綊QN，四边形PMNQ是平行四边形，PQMN.又PQ平面CBE，MN平面CBE，PQ平面CBE.方法二如图所示，连接AQ并延长交BC的延长线于K，连接EK.AEBD，APDQ，PEBQ，又ADBK，PQEK，又PQ平面CBE，EK平面CBE，PQ平面CBE.题型二面面平行判定定理的应用【例2】如图，在已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PMMABNNDPQQD.求证：平面MNQ平面PBC.证明因为PMMABNNDPQQD，所以MQAD，NQBP.因为BP平面PBC，NQ平面PBC，所以NQ平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BCAD，所以MQBC.因为BC平面PBC，MQ平面PBC，所以MQ平面PBC.又因为MQNQQ，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ平面PBC.规律方法(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.【训练2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD.证明如图所示，连接B1D1，P、N分别是D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD，又PN平面A1BD，BD平面A1BD，PN平面A1BD，同理可得MN平面A1BD，又MNPNN，平面PMN平面A1BD.【探究1】在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点.问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO？请说明理由.解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.理由如下：连接PQ.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，PQDCAB，PQDCAB，四边形ABQP是平行四边形，QBPA.又O为DB的中点，D1BPO.又POPAP，D1BQBB，平面D1BQ平面PAO.【探究2】如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADC90，BCCDAD.E为棱AD的中点.在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由.解在梯形ABCD中，AB与CD不平行，且BC的长小于AD的长.如图所示，延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M为所求的一个点.理由如下：由已知，得BCED，且BCED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)【探究3】在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在PD上，且PEED21，在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.解存在.证明如下：如图，取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD，设BDACO.底面ABCD是平行四边形，O是BD的中点.连接BF，MF，BM，OE.PEED21，F为PC的中点，M为PE的中点，E为MD的中点，O为BD的中点，MFEC，BMOE.MF平面AEC，CE平面AEC，BM平面AEC，OE平面AEC，MF平面AEC，BM平面AEC.MFBMM，平面BMF平面AEC.又BF平面BMF，BF平面AEC.规律方法要证明面面平行，由平面与平面平行的判定定理知，需在一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据直线与平面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：课堂达标1.直线a，b为异面直线，过直线a 与直线b平行的平面()A.有且只有一个 B.有无数多个C.至多一个 D.不存在解析在直线a上任选一点A，过点A作bb，则b是唯一的，因abA，所以a与b确定一平面并且只有一个平面，故选A.答案A2.平面与平面平行的条件可以是()A.内的一条直线与平行B.内的两条直线与平行C.内的无数条直线与平行D.内的两条相交直线分别与平行解析若两个平面、相交，设交线是l，则有内的直线m与l平行，得到m与平面平行，从而可得A是不正确的；而B中两条直线可能是平行于交线l的直线，也不能判定与平行；C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定与平行.由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的.答案D3.设直线l，m，平面，下列条件能得出的有_(填序号).l，m，且l，m；l，m，且lm，l，m；l，m，且lm；lmP，l，m，且l，m.解析错误，因为l，m不一定相交；错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；错误，两个平面可能相交；正确.答案4.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：平面EFGH平面ABCD；PA平面BDG；EF平面PBC；FH平面BDG；EF平面BDG；其中正确结论的序号是_.解析把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.答案5.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，点D是AB的中点，求证：AC1平面CDB1.证明如图，连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE.D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.课堂小结1.判定直线与平面平行的方法：(1)定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；(2)判定定理：(线线平行线面平行)，2.用定理证明线面平行时，在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成.3.证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.基础过关1.下列说法正确的是()A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行解析由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无公共点，故选择C.答案C2.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A.不可能作出 B.只能作出一个C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在解析设直线外两点为A、B，若直线ABl，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.答案D3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在 B.有1条C.有2条 D.有无数条解析画出平面D1EF与平面ADD1A1的交线D1G，如图所示.于是在平面ADD1A1内与直线D1G平行的直线都与平面D1EF平行，有无数条.答案D4.设m，n是平面外的两条直线，给出下列三个论断：mn；m；n，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个_.解析若mn，m，则n，同样，若mn，n，则m.答案(或)5.三棱锥SABC中，G为ABC的重心，E在棱SA上，且AE2ES，则EG与平面SBC的关系为_.解析如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为ABC的重心知AGGF2，又AEES2，EGSF，又SF平面SBC，EG平面SBC，EG平面SBC.答案平行6.如图，已知P是ABCD所在平面外一点，E，F，G分别是PB，AB，BC的中点.证明：平面PAC平面EFG.证明因为EF是PAB的中位线，所以EFPA.又EF平面PAC，PA平面PAC，所以EF平面PAC.同理得EG平面PAC.又EF平面EFG，EG平面EFG，EFEGE，所以平面PAC平面EFG.7.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB90，EFAB，FGBC，EGAC，AB2EF，M是线段AD的中点，求证：GM平面ABFE.证明因为EFAB，FGBC，EGAC，ACB90，所以ABCEFG，EGF90，由于AB2EF，因此BC2FG.如图，连接AF，由于FGBC，FGBC，在ABCD中，M是线段AD的中点，则AMBC，且AMBC，因此FGAM且FGAM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GMFA.又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM平面ABFE.能力提升8.在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G解析如图，EGE1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，EG平面E1FG1，又G1FH1E，同理可证H1E平面E1FG1，又H1EEGE，平面E1FG1平面EGH1.答案A9.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析由B，ABMQ，则直线AB平面MNQ；由C，ABMQ，则直线AB平面MNQ；由D，ABNQ，则直线AB平面MNQ，故选A.答案A10.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，BM平面DE；CN平面AF；平面BDM平面AFN；平面BDE平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是_.解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.答案11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_时，有MN平面B1BDD1.解析HNBD，HFDD1，HNHFH，BDDD1D，平面NHF平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连结，有MN平面B1BDD1.答案M线段FH12.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1BC，B1C1BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EBC1D，又C1D平面ADC1，EB平面ADC1，所以EB平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.因为B1BA1A，B1BA1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1EAD，又A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1E平面ADC1.由A1E平面ADC1，EB平面ADC1，A1E平面A1EB，EB平面A1EB，且A1EEBE，所以平面A1EB平面ADC1.13.(选做题)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN平面BB1D1D?解如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以MEAA1FG，且MEAA1FG.所以四边形MEFG是平行四边形.因为MEBB1，BB1平面BB1D1D，ME平面BB1D1D，所以ME平面BB1D1D.在A1B1D1中，因为EFB1D1，B1D1平面BB1D1D，EF平面BB1D1D，所以EF平面BB1D1D.又因为MEEFE，且ME平面MEFG，EF平面MEFG，所以平面MEFG平面BB1D1D.在FG上任取一点N，连接MN，所以MN平面MEFG.所以MN与平面BB1D1D无公共点.所以MN平面BB1D1D.总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MNBB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN平面BB1D1D.