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第二课时两个计数原理的综合应用 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？思路导引由题意可知有1人既会英语又会日语，分类讨论解由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人则可分三类：第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2612(种)方法故共有261220(种)选法选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可跟踪训练1高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A16种 B18种 C37种 D48种解析高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案则满足条件的不同的分配方案有433337种故选C.答案C2甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？解第一步，甲取1张不是自己所写的贺卡，有3种取法；第二步，由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步，由剩余两人中任一人取，此时只有1种取法；第四步，最后1个人取，只有1种取法由分步乘法计数原理可知，共有33119种取法题型二用计数原理解决组数问题 用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？思路导引排数时“0”不能在首位，但电话号码“0”可以在首位解(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有55553125(种)(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有455100(种)(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4312(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有23318(种)排法因而有121830(种)排法即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数组数问题的常见类型及解决原则(1)常见的组数问题组成的数为“奇数”、“偶数”、“被某数整除的数”；在某一定范围内的数的问题；各位数字和为某一定值问题；各位数字之间满足某种关系问题等(2)解决原则明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位跟踪训练1从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数其中奇数的个数为()A24 B18 C12 D6解析由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种因此总共有12618种情况故选B.答案B2如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,342,275等)，那么所有凸数个数是多少？解分8类，当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1,0，由分步乘法计数原理，有122个；当中间数为3时，百位可选1,2，个位可选0,1,2，由分步乘法计数原理，有236个；同理可得：当中间数为4时，有3412个；当中间数为5时，有4520个；当中间数为6时，有5630个；当中间数为7时，有6742个；当中间数为8时，有7856个；当中间数为9时，有8972个故共有26122030425672240个 如图所示，要给“优”、“化”、“指”、“导”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？解优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步第一步，涂“优”区域，有3种选择第二步，涂“化”区域，有2种选择第三步，涂“指”区域，由于它与“优”、“化”区域颜色不同，有1种选择第四步，涂“导”区域，由于它与“化”“指”区域颜色不同，有1种选择所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有32116(种)求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题跟踪训练从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法解解法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3216(种)不同种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3216(种)不同种植方法故不同的种植方法共有6318(种)解法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有43224(种)，其中不种黄瓜有3216(种)，故共有不同种植方法24618(种)1.本节课的重点是选(抽)取与分配问题，用计数原理解决组数、涂色(种植)问题，也是本节课的难点2本节课要重点掌握的规律方法(1)选(抽)取与分配问题，见典例1；(2)用计数原理解决组数问题，见典例2；(3)用计数原理解决涂色(种植)问题，见典例3.3在解决具体问题时，首先弄清楚是“分类”还是“分步”，还要清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么简单地说，“分类互斥”“分步互依”，关键是看能否独立完成这件事与此同时，还要注意分类、分步时不要重复和遗漏
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