考研数学《概率统计》讲义第四讲.ppt

河南理工大学精品课程概率论与数理统计 第四章随机变量的数字特征 数学期望及其性质 方差及其性质 协方差与相关系数 分布函数能完整地描述r v 的统计特性 但实际应用中并不都需要知道分布函数 而只需知道r v 的某些特征 判断棉花质量时 既看纤维的平均长度 平均长度越长 偏离程度越小 质量就越好 又要看纤维长度与平均长度的偏离程度 例如 考察一射手的水平 既要看他的平均环数是否高 还要看他弹着点的范围是否小 即数据的波动是否小 由上面例子看到 与r v 有关的某些数值 虽不能完整地描述r v 但能清晰地描述r v 在某些方面的重要特征 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义 随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 引例1 枪手进行射击 规定击中区域I内得2分 击中区域II内得1分 脱靶 击中区域III 得0分 II I III 枪手每次射击的得分X是一个随机变量 其分布律为 现射击N次 其中得0分的有次 得1分的有次 得2分的有次 于是 射击N次的总分为 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 从而 每次射击的平均分为 在第五章大数定律中可证明 当N无限增大时 频率接近于概率 故当N很大时 这表明 随着试验次数增大 随机变量X的观察值的算术平均接近于 称后者为随机变量X的数学期望 均值 设X为离散r v 其分布为 若无穷级数 其和为X的数学期望记作E X 即 绝对收敛 则称 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 试评定甲乙成绩的优劣 解 这是离散型随机变量 由数学期望定义得 由知 甲的成绩远胜过乙的成绩 例1 甲乙两人进行射击所得分数分别为X1 X2 其分布律分别为 例2X B n p 求E X 解 特例若Y B 1 p 则E Y 常见离散型r v 的数学期望 设连续r v X的d f 为 若广义积分 绝对收敛 则称此积分为X的数学期望记作E X 即 定义 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 求E X 解 这是连续型随机变量 由数学期望定义得 分段函数的积分 例3 设在某一规定时间间隔里 某电气设备用于最大负荷的时间X 分钟 是一个随机变量 其概率密度为 例4X N 2 求E X 解 区间 a b 上的均匀分布 E N 2 常见连续型r v 的数学期望 设离散r v X的概率分布为 若无穷级数 绝对收敛 则 设连续r v 的d f 为f x 绝对收敛 则 若广义积分 设离散r v X Y 的概率分布为 Z g X Y 绝对收敛 则 若级数 设连续r v X Y 的联合d f 为 f x y Z g X Y 绝对收敛 则 若广义积分 例5设 X Y N 0 1 0 1 0 求 的数学期望 解 解 1 设整机寿命为N 五个独立元件 寿命分别为 都服从参数为 的指数分布 若将它们 1 串联 2 并联成整机 求整机寿命的均值 例6 即N E 5 2 设整机寿命为 可见 并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 例7 一工厂生产的某种设备的寿命X 以年计 服从指数分布 其概率密度为 解 这是求连续型随机变量函数的数学期望 工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换 若工厂售出一台设备赢利100元 调换一台设备厂方需花费300元 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望 设售出一台设备的净赢利为 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 故售出一台设备的净赢利的数学期望为 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 三 数学期望的性质 数学期望具有如下性质 设X Y为随机变量 c为常数 则 E c c E cX cE X E X Y E X E Y 当X Y相互独立时 E XY E X E Y 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 解 方法1 表格法 由X的分布列得 例8 已知随机变量X的分布列为 求X X2 3X2 5的数学期望 E X 2 0 4 0 0 3 2 0 3 0 2 于是 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 E X2 0 0 3 4 0 7 2 8 E 3X2 5 5 0 3 17 0 7 13 4 方法2 定义 性质法 因为 E X 2 0 4 0 0 3 2 0 3 0 2 E X2 2 2 0 4 02 0 3 22 0 3 2 8 所以 E 3X2 5 3E X2 5 3 2 8 5 13 4 例6 续 河南理工大学精品课程概率论与数理统计 E X2 0 0 3 4 0 7 2 8 E 3X2 5 5 0 3 17 0 7 13 4 方法2 定义 性质法 因为 E X 2 0 4 0 0 3 2 0 3 0 2 E X2 2 2 0 4 02 0 3 22 0 3 2 8 所以 E 3X2 5 3E X2 5 3 2 8 5 13 4 例6 续 例9将4个不同色的球随机放入4个盒子中 每盒容纳球数无限 求空盒子数的数学期望 解一设X为空盒子数 则X的概率分布为 解二再引入Xi i 1 2 3 4 例10 一民航送客车载有20位旅客自机场开出 旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车就不停车 以X表示停车的次数 求E X 解 引入随机变量 易知X X1 X2 X10 任一旅客在第i站不下车的概率为9 10 因此20位旅客都不在第i站下车的概率为 9 10 20 在第i站有人下车的概率为1 9 10 20 即P Xi 0 9 10 20 P Xi 1 1 9 10 20 所以 E Xi 1 9 10 20 i 1 2 10 进而 E X E X1 X2 X10 E X1 E X2 E X10 10 1 9 10 20 8 784 注 本题的特点是将X分解为数个随机变量的和 再求数学期望 此种方法具有普遍意义 例11 抛掷6颗骰子 X表示出现的点数之和 求E X 从而由期望的性质可得 例12设二维r v X Y 的d f 为 求E X E Y E X Y E XY E Y X 解 由数学期望性质