2018-2019高中数学 第2章 平面向量 2.2.1 向量的加法学案 苏教版必修4.doc

2.2.1向量的加法学习目标1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性知识点一向量加法的定义及其运算法则分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F13000N，F22000N，牵引绳之间的夹角为60(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果思考1从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？答案后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OABC的对角线表示的力是与表示的力的合力，体现了向量的加法运算思考2上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？答案三角形法则和平行四边形法则梳理(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2)向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知向量a，b，在平面上任取一点O，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作ab，即ab.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则对于零向量与任一向量a的和有a00aa平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线就是a与b的和把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义知识点二向量加法的运算律思考1实数加法有哪些运算律？答案交换律和结合律思考2根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律(注：a，b)答案，ab.，ba.abba.思考3根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律(注：a，b，c)答案()，(ab)c，又()，a(bc)，(ab)ca(bc)梳理向量加法的运算律交换律abba结合律(ab)ca(bc)10aa0a.()2.()3.0.()4.()5|.()类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量ab和abc.(1)(2)解(1)作法：在平面内任意取一点O，作a，b，则ab.(2)在平面内任意取一点O，作a，b，c，则abc.反思与感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半跟踪训练1如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量(1)_；(2)_；(3)_.答案(1)(2)(3)0类型二向量加法运算律的应用例2化简：(1)；(2)；(3).解(1).(2)()0.(3)0.反思与感悟(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连结，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加(2)向量求和的多边形法则：An1An.特別地，当An和A1重合时，An1A10.跟踪训练2已知正方形ABCD的边长等于1，则|_.答案2解析|2|2.类型三向量加法的实际应用例3在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向解作出图形，如图所示船速v船与岸的方向成角，由图可知v水v船v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在RtACD中，|v水|10m/min，|v船|20m/min，cos，60，从而船与水流方向成120的角船是沿与水流的方向成120的角的方向行进引申探究1若本例中条件不变，则经过1h，该船的实际航程是多少？解由本例知v船20m/min，v实际20sin6010(m/min)，故该船1h行驶的航程为1060600(m)(km)2若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值解如图，作平行四边形ABDC，则v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为，则tan2.即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.反思与感悟向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键跟踪训练3如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，ACW150，BCW120，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)解如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10N的重力用表示，则.易得ECG18015030，FCG18012060.|cos30105 (N)，|cos60105 (N)A处所受的力为5N，B处所受的力为5N.1.如图，在正六边形ABCDEF中，_.考向向量加法法则题点结合图形求向量的和答案解析.2.如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是_(填序号)0；0；.答案解析0，0，0.3已知正方形的边长为1，a，b，c，则|abc|_.答案2解析，|abc|2c|2.4如图所示，在四边形ABCD中，则四边形一定是_答案平行四边形解析，即.四边形ABCD为平行四边形5小船以10km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为_km/h.答案20解析如图，设船在静水中的速度为|v1|10km/h，河水的流速为|v2|10 km/h，小船的实际航行速度为v0，则由|v1|2|v2|2|v0|2，得(10)2102|v0|2，所以|v0|20km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.1三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则2向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行3使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.一、填空题1已知向量a表示“小船向东航行1km”，向量b表示“小船向南航行1km”，则ab表示_km.答案小船向东南航行2在平行四边形ABCD中，_.答案03()()化简后的向量为_答案解析根据向量加法的运算法则有()()()().4作用在同一物体上的两个力F160N，F260N，当它们的夹角为120时，这两个力的合力大小为_答案60N5.根据图示填空，其中a，b，c，d.(1)abc_；(2)bdc_.答案(1)(2)解析(1)abc.(2)bdc.6设a()()，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是_(填序号)ab；aba；abb；|ab|a|b|；|ab|a|b|.答案解析a0，ab，abb，|ab|a|b|，故填.7如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB1，则|_.答案2解析，AB1，|2.8已知在矩形ABCD中，AB2，BC3，则|_.答案2解析|2|2|2.9已知ABC是等边三角形，给出下列等式：|；|；|；|.其中正确的有_(写出所有正确等式的序号)答案解析，|，对，同理错，对10在菱形ABCD中，DAB60，|1，则|_.答案1解析在菱形ABCD中，连结BD，DAB60，BAD为等边三角形，又|1，|1，|1.二、解答题11.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点求证：4.证明4()4()()4004，4.12如图所示，试用几何法分别作出向量，.解以BA，BC为邻边作ABCE，根据平行四边形法则，可知就是.以CB，CA为邻边作ACBF，根据平行四边形法则，可知就是.13在水流速度为4km/h的河中，要使船以12 km/h的实际航速与河岸成直角行驶，求船的航行速度的大小和方向解如图，设表示水流的速度，则表示船的实际航行速度，连结BC，作ADBC且ADBC，则为所求船的航行速度，且.|4，|12，tanACB.ACB30CAD，|8，BAD120.船的航行速度的大小为8km/h，方向与水流速度成120角三、探究与拓展14若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”，则|ab|_，ab的方向是_答案8km北偏东45解析如图所示，设a，b，则ab，且ABC为等腰直角三角形，则|8，BAC45.15如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BPQC.求证：.证明，.与大小相等，方向相反，0，故0.