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课时分层作业(十六) 空间向量的正交分解及其坐标表示(建议用时：40分钟)基础达标练一、选择题1给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底，d与c共线，d0，则a，b，d也可以作为空间的一个基底；已知向量ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；已知a，b，c是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是()A1 B2C3D4D根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底显然正确中由，不能构成空间的一个基底，知，共面又，过相同点B，知A，B，M，N四点共面所以正确下面证明正确：假设d与a，b共面，则存在实数，使得dab，d与c共线，c0，存在实数k，使得dkCd0，k0，从而cab，c与a，b共面，与条件矛盾，d与a，b不共面同理可证也是正确的于是四个命题都正确，故选D2在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若a，b，c，则可表示为()AabcBabcCabcDabcD由于()abc，故选D3正方体ABCDABCD中，O1，O2，O3分别是AC，AB，AD的中点，以1，2，3为基底，x1yz3，则x，y，z的值是()Axyz1BxyzCxyzDxyz2A()()()，由空间向量的基本定理，得xyz1.4已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的向量是() 【导学号：46342150】A BC D或C因为ab2，所以a，b与共面，不能构成空间的一个基底5如图3133，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1EA1B1，则等于()图3133ABCDC由图知B(1,1,0)，E，所以.二、填空题6已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxaybc，若m与n共线，则x_，y_.11因为m与n共线，所以存在实数，使mn，即abcxaybc，于是有解得7如图3134, 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若a，b，c，则_.图3134abc()()abC8已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如图3135所示的空间直角坐标系，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAD1，则的坐标为_. 【导学号：46342151】图3135PAADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，M，P(0,0,1)，C(1,1,0)，则N.三、解答题9如图3136，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，试用a，b，c表示.图3136解连接AN，则.由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得ab，(ab)，又bc，故b(bc)，所以(ab)b(bc)(abc)10如图3137，在正四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO1，M是PC的中点设a，b，C图3137(1)用向量a，b，c表示.(2)在如图的空间直角坐标系中，求的坐标. 【导学号：46342152】解(1)，()()abC(2)a(1,0,0)，b(0,1,0)A(0,0,0)，O，P，c，abc(1,0,0)(0,1,0).能力提升练1已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，成为空间的一个基底的是()AOAOBOCBCD2C对于选项A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面，知，共面；对于选项B，D，易知，共面，故选C2已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，向量a在基底，下的坐标为(2,1，3)，则向量a在基底，下的坐标为()A(2,1，3)B(1,2，3)C(1，8,9)D(1,8，9)Ba232323DD1，向量a在基底，下的坐标为(1,2，3)，故选B3在空间四边形ABCD中，a2c，5a5b8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则_.3ab3c()()()()3ab3c4已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(2,1，1)，则p在基底2a，b，c下的坐标为_；在基底ab，ab，c下的坐标为_. 【导学号：46342153】(1,1,1)由题意知p2abc，则向量p在基底2a，b，c下的坐标为(1,1,1)设向量p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc又p2abc，解得x，y，z1；p在基底ab，ab，c下的坐标为.5已知e1，e2，e3为空间的一个基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判断P，A，B，C四点是否共面(2)能否以，作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示；若不能，请说明理由解(1)假设P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，z，使xyz，且xyz1，即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)比较对应的系数，得到关于x，y，z的方程组，解得，与xyz1矛盾，故P，A，B，C四点不共面(2)若OA，共面，则存在实数m，n，使mn，同(1)可证，不共面，因此，可以作为空间的一个基底，令a，b，c，由e12e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c，得，所以2e1e23e32(3ab5c)(ac)3(4ab7c)17a5b30c17530.
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