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康杰中学20172018学年度第二学期期中考试高二数学（理）试题 2018.4一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1是虚数单位，（ ） A. B. C. D. 2. 设若，则（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题：“若，且，则中至少有一个负数”的假设为（ ） A. 中至少有一个正数B. 全都为正数C. 全都为非负数D. 中至多有一个负数4. 已知为函数的极小值点，则（ ） A. 9B. 2C. 4D. 25. 函数在0，2上的最大值是（ ） A. B. C. 0D. 6. 观察，由归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教，每校至少安排一人，其中甲、乙不能安排在同一学校，则不同的安排方法种数为（ ） A. 18B. 24C. 30D. 368. 直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与C所围成的图形的面积等于（ ） A. B. 2C. D. 9. 若函数在上的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 10. 若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比这一性质可知，若是正项等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为（ ）n A. B. nC. D. 11.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19，则在这个子数中第2014个数是（ ） A. 3965B. 3966C. 3968D. 398912.若函数在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 复数，其中为虚数单位，则的实部为 .14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为 .15. 设点P、Q分别是曲线和直线上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为 .16. 有粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为.例如对4粒有如下两种分解：(4)(1,3) (1,1,2) (1,1,1,1)，此时13+12+11=6; (4)(2,2) (1,1,2) (1,1,1,1)，此时22+11+11=6.于是发现为定值，请你研究的规律，归纳 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）设z1是虚数，z2z1是实数，且1z21.（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围（2）若，求证：为纯虚数18.（本小题满分12分）已知曲线C：，点，求过P的切线与C围成的图形的面积.19.（本小题满分12分）已知.证明：（1）；（2）.20.（本小题满分12分）已知函数，（1）当时，在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m2时，若函数k(x)f(x)h(x)在区间1,3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围21.（本小题满分12分）是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由22.（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，；（3）如果，且，证明：.高二理科数学答案1-12 BBCDA DCCAD AB13、5 14、112 15、 16、17.解：(1)设z1abi(a，bR且b0)，则z2z1abii.因为z2是实数，b0，于是有a2b21，即|z1|1，.4分还可得z22a.由1z21，得12a1，解得a，即z1的实部的取值范围是. .7分(2)i.因为a，b0，所以为纯虚数 .10分18.解：设切点，则切线：过P（） 即 即 A（0，1）故 即 B（） 19.证明. .6分（2）因为 .12分20.【解】(1)由f(x)h(x)在(1，)上恒成立，得m在(1，)上恒成立，令g(x)，则g(x)，故g(e)0，当x(1，e)时，g(x)0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，故当xe时，g(x)的最小值为g(e)e.所以me. .6分(2)由已知可知k(x)x2ln xa，函数k(x)在1,3上恰有两个不同零点，相当于函数(x)x2ln x与直线ya有两个不同的交点，(x)1，故(2)0，所以当x1,2)时，(x)0，所以(x)单调递增所以(1)1，(3)32ln 3，(2)22ln 2，且(1)(3)(2)0，所以22ln 21时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在（1,+)是增函数。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).)证明：（1）若.8分（2）若根据（1）（2）得由（）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）上为增函数，所以,即2. .12分
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