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考点58 直线系方程与圆系方程要点阐述1与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+m=0；2与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为BxAy+m=0；3过定点（，）的直线系方程：（A,B不同时为0）；4过直线n：（不同时为0）与：（不同时为0）交点的直线系方程为：（，为参数）；5过直线Ax+By+C=0与圆 x 2 + y 2 +Dx + Ey +F= 0 的交点的圆系方程x 2 + y 2 +Dx + Ey +F+（Ax+By+C）=0；6过和交点的圆系方程为典型例题【例】求过两圆 x 2 + y 2 4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2 2y 4 = 0 的交点，且圆心在直线 2x + 4y = 1上的圆方程_，此时圆心到x轴的距离_【答案】 x 2 + y 2 3x + y 1 = 0，【解题技巧】在遇到过圆与圆交点的圆有关问题时，灵活应用圆系方程，可简化繁杂的解题过程小试牛刀1已知点是直线外一点，则方程表示（ ）A过点且与垂直的直线 B过点且与平行的直线C不过点且与垂直的直线 D不过点且与平行的直线【答案】D【解析】2求经过点，且与直线垂直的直线的方程_ 【答案】【解析】设与直线垂直的直线系方程为，因为经过点，所以，故所求直线方程为【解题技巧】对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算3不论k为何实数，直线（2k1）x（k+3）y（k11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是_【答案】【解析】4设直线l经过2x3y+2=0和3x4y2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l的方程_【答案】xy4=0,或x+y24=0【解析】设所求的直线方程为(2x3y+2)+(3x4y2)=0,整理得(2+3)x(4+3)y2+2=0,由题意,得=1,解得=1,或=所以所求的直线方程为xy4=0,或x+y24=0【易错易混】对求过定点（，）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: ，注意的此方程表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象5求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程_【答案】考题速递1已知直线与直线平行，则直线在轴上的截距为（ ）A B C D【答案】B【解析】由已知得，得，则直线在轴上的截距为,故选B2平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）A或B或 C或D或【答案】D【解析】依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或，故选D3过直线 2x + y + 4 = 0 和圆 x 2 + y 2 + 2x 4y + 1 = 0 的交点，面积最小的圆方程_，圆的面积为_【答案】5x 2 + 5y 2 + 26x 12y + 37 = 04已知平行四边形两边所在直线的方程为x+y+2=0和3xy+3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程【解析】由得一顶点为因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为设与x+y+2=0平行的对边所在直线方程为x+y+m=0,因为该直线过,所以m=16设与3xy+3=0平行的对边所在直线方程为3xy+n=0,同理可知过点,得n=13故所求直线的方程为x+y16=0和3xy13=0数学文化平行直线系两条平行的直线永远不会有交集
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