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3.3.2函数的极值与导数【选题明细表】知识点、方法题号函数极值的定义1函数极值(点)的判断与求解2,3,7由函数极值求参数(或范围)4,5函数极值的应用10综合问题6,8,9,11【基础巩固】1.下列关于函数的极值的说法正确的是(D)(A)导数值为0的点一定是函数的极值点(B)函数的极小值一定小于它的极大值(C)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值(D)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数解析:由极值的概念可知只有D正确.2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(A)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:极小值点应有先减后增的特点,即f(x)0.由图象可知只有1个极小值点.故选A.3.函数y=1+3x-x3有(D)(A)极小值-1,极大值1(B)极小值-2,极大值3(C)极小值-2,极大值2(D)极小值-1,极大值3解析:f(x)=-3x2+3,由f(x)=0可得x1=1,x2=-1.由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(1)=3,极小值为f(-1)=1-3+1=-1.故选D.4.(2018太原高二检测)若函数f(x)=ax-ln x在x=处取得极值,则实数a的值为(A)(A)(B)(C)2(D)解析:f(x)=a-,令f()=0,即a-=0,解得a=.故选A.5.(2017河南高二月考)已知函数f(x)=ex-ax有两个零点x1e(B)x1+x22(C)x1x21(D)有极小值点x0,且x1+x20,当a0时,f(x)=ex-a0在xR上恒成立,所以f(x)在R上单调递增.当a0时,因为f(x)=ex-a0,所以ex-a0,解得xln a,所以f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.因为函数f(x)=ex-ax有两个零点x1x2,所以f(ln a)0,所以eln a-aln ae,A正确;x1+x2=ln(a2x1x2)=2ln a+ln(x1x2)2+ln(x1x2),取a=,f(2)=e2-2a=0,所以x2=2,f(0)=10,所以0x12,B正确;f(0)=10,所以0x11不一定,C不正确;f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增,所以有极小值点x0=ln a,且x1+x20;当x(1,2)时,f(x)0,所以f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值,当x=1时函数取得极大值.只有不正确.答案:8.(2017咸阳高二期末)已知函数f(x)=x3+3x2-9x+3.求:(1)f(x)的单调递增区间;(2)f(x)的极值.解:(1)f(x)=3x2+6x-9,解f(x)0,得x1或x-3;所以f(x)的单调递增区间为(-,-3,1,+).(2)x0,-3x1时,f(x)1时,f(x)0;所以x=-3时f(x)取极大值30,x=1时,f(x)取极小值-2.【能力提升】9.(2018沈阳高二质检)若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为(D)(A)2(B)3(C)6(D)9解析:f(x)=12x2-2ax-2b,则f(1)=12-2a-2b=0,则a+b=6,又a0,b0,则t=ab()2=9,当且仅当a=b=3时取等号.故选D.10.(2018成都高二诊断)函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是.解析:令f(x)=3x2-3a=0,得x=,则f(x),f(x)随x的变化情况如表:x(-,-)-(-,)(,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(-1,1).答案:(-1,1)11.(2018呼伦贝尔高二检测)设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4.(1)求a,b,c的值;(2)求函数的递减区间.解:(1)因为函数的图象经过点(0,0),易得c=0.又图象与x轴相切于点(0,0),且y=3x2+2ax+b,故0=302+2a0+b,解得b=0.所以y=x3+ax2,则y=3x2+2ax.令y=0,解得x=0或x=-a,即x=0和x=-a是极值点.由图象知函数在x=0处取极大值,故在x=-a时取极小值.当x=-a时,函数有极小值-4,所以(-a)3+a(-)2=-4,整理得a3=-27,解得a=-3.故a=-3,b=0,c=0.(2)由(1)得y=x3-3x2,则y=3x2-6x,令y0,即y=3x2-6x0,解得0x2,所以函数的递减区间是(0,2).【探究创新】12.(2017南阳高二期末)已知函数f(x)=x3+ax2+2bx+c,函数f(x)在区间(0,1)内取极大值,在区间(1,2)内取极小值,则u=的取值范围是.名师点拨:由函数在(0,1)内取极大值,在(1,2)内取极小值,列出a,b所满足的约束条件,利用线性规划求解.解析:f(x)=x2+ax+2b,因为函数f(x)在(0,1)内取极大值,在(1,2)内取极小值.所以即作出点(a,b)所满足的可行域如图:而u=可看作是平面区域内的点与点C(1,2)连线的斜率,由可得A(-3,1),又B(-1,0)所以kAC=,kBC=1,所以u1.答案:(,1)
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