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2.4.2抛物线的几何性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题知识点抛物线的几何性质思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴上的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y22px(p0)如何确定横坐标x的范围？答案(1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心(2)由抛物线y22px(p0)有所以x0.所以抛物线x的范围为x0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸梳理四种形式的抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴x轴y轴y轴焦点FFFF准线方程xxyy顶点坐标O(0,0)通径长2p1抛物线关于顶点对称()2抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()3抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同()类型一依据抛物线的几何性质求标准方程例1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程解椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3, p6.抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3或x3.引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程解由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点F，直线l：x，所以A，B两点坐标为，所以|AB|2|m|.因为OAB的面积为4，所以2|m|4，所以m2.所以抛物线的标准方程为y24x.反思与感悟用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1已知双曲线方程是1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程解因为双曲线1的右顶点坐标为(2，0)，所以2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y28x，其准线方程为x2.类型二抛物线的焦半径和焦点弦问题例2(1)过抛物线y28x的焦点，倾斜角为45的直线被抛物线截得的弦长为_(2) 直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若AB8，则直线l的方程为_(3)过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_答案(1)16(2)xy10或xy10(3)解析(1)由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2，代入y28x得(x2)28x，即x212x40.所以x1x212，弦长为x1x2p12416.(2)抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，若l与x轴垂直，则AB4，不符合题意，可设所求直线l的方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20，(*)则由根与系数的关系，得x1x2.又AB过焦点，由抛物线的定义可知ABx1x2p28，6，解得k1.此时(*)式变为x26x10，满足0.所求直线l的方程为xy10或xy10.(3)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线定义知ABAFBFx1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为，又准线方程为x1，因此点M到抛物线准线的距离为1.反思与感悟1.抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为(1)抛物线y22px(p0)，PFx0.(2)抛物线y22px(p0)，PFx0.(3)抛物线x22py(p0)，PFy0.(4)抛物线x22py(p0)，PFy0.2已知AB是过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)y1y2p2，x1x2.(2)ABx1x2p(为直线AB的倾斜角)(3)SABO(为直线AB的倾斜角)(4).(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切3当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.跟踪训练2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求AB的值；(2)若AB9，求线段AB的中点M到准线的距离解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan60.又F，所以直线l的方程为y.联立消去y得x25x0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，而ABAFBFx1x2x1x2p，所以AB538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知ABAFBFx1x2x1x2px1x23，所以x1x26.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.类型三抛物线的综合问题例3抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(1,0)，求的最小值解抛物线y24x的准线方程为x1，如图，过点P作PN垂直x1于点N，由抛物线的定义可知PFPN，连结PA，在RtPAN中，sinPAN，当最小时，sinPAN最小，即PAN最小，即PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，切线PA的斜率一定存在，设PA的方程为yk(x1)，联立得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，此时cosNPA.综上，的最小值为.反思与感悟1.若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点2在曲线上求一点到直线的距离最小问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决跟踪训练3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_答案2解析由题意知，直线l2：x1为抛物线y24x的准线由抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即d2.例4抛物线y22px(p0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若AF，MF，BF成等差数列(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q；(2)若MF4，OQ6(O为坐标原点)，求抛物线的方程(1)证明设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则AFx1，BFx2，MFx0，x0为已知值由题意得x0，线段AB的中点坐标可设为(x0，t)，其中t0(否则AFMFBFp0)而kAB，故线段AB的垂直平分线的方程为yt(xx0)，即t(xx0p)yp0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0p,0)(2)解由MF4，OQ6，得x04，x0p6，联立解得p4，x02.抛物线方程为y28x.反思与感悟在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等跟踪训练4在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点，4，求证：直线l必过一定点证明设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.又x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，解得b2，故直线过定点(2,0)1以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为_答案y28x或y28x解析设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，依题意得x，代入y22px或y22px得|y|p，2|y|2p8，p4.抛物线的方程为y28x或y28x.2已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上一点P(1，m)到焦点的距离为5，则m的值为_答案4解析由抛物线的定义知点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以15，p8，故抛物线的方程为y216x，将点P(1，m)代入方程，得m4.3过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB_.答案8解析抛物线的准线方程为x1，则线段AB的中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义及中位线定理得AB8.4已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.答案2解析设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为45的直线的方程为yx，把xy代入y22px，得y22pyp20，y1y22p，y1y2p2.AB8，|y1y2|4，(y1y2)24y1y2(4)2，即4p24p232.又p0，p2.5已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且AKAF，则AFK的面积为_答案8解析F(2,0)，K(2,0)，过点A作AM垂直准线于点M，则AMAF，AKAM，AMK为等腰直角三角形设A(m2，2m)(m0)，则AFK的面积S42m4m.又由AKAM，得(m22)28m22(m22)2，解得m，AFK的面积S4m8.1抛物线的中点弦问题用点差法较简便2轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系3在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化一、填空题1设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为_答案y28x解析抛物线y2ax(a0)的焦点坐标是，故直线l的方程为y2，令x0，得y，故OAF的面积为4，a8，故抛物线的方程为y28x.2抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则p的值为_答案8解析OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆的面积为36，圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，OF，6，p8.3设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，垂足为A.如果AF的斜率为，那么PF_.答案8解析由题意得，准线l的方程为x2，焦点F(2,0)，设点A的坐标为(2，n)，则，解得n4，由(4)28x，得x6.P(6,4)，PF628.4若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为_答案解析由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以的P的横坐标为，代入抛物线方程得y，故点P的坐标为.5当x1时，直线yaxa恒在抛物线yx2的下方，则a的取值范围是_答案(，4)解析由题可知，联立整理可得x2axa0，当a24a0时，解得a0或a4，此时直线与抛物线相切因为直线恒过定点(1,0)，所以结合图形(图略)可知a(，4)6已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_答案y24x解析方法一设抛物线方程为y2kx(k0)，与yx联立方程组，消去y，得x2kx0.设A(x1，y1)，B(x2，y2), x1x2k.又P(2,2)为AB的中点，2.k4.y24x.方法二由题意知，交点其一为原点，所以令A(0,0)，又P(2,2)为AB的中点，B(4,4)设抛物线方程为y22px(p0)，p2，y24x.7已知直线l过抛物线y22px(p0)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2p,2p)，则其焦点弦的长度为_答案解析由题意知直线l过点和(2p,2p)，所以l：y.联立整理得8x217px2p20.设另一交点坐标为(x1，y1)由根与系数的关系，得x12p，所以焦点弦的长度为x12pp.8直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的相交弦长及弦中点问题答案(3,2)解析设线段的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，将yx1代入y24x，整理得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3，2，所求点的坐标为(3,2)9抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点坐标为_答案解析因为y4x2与y4x5不相交，设与y4x5平行的直线方程为y4xm.则4x24xm0.设此直线与抛物线相切，此时有0，即1616m0，m1.将m1代入式，得x，y1，故所求点的坐标为.10已知抛物线y28x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若AB8，则实数a的取值范围是_答案(2，1解析将l的方程yxa代入y28x，得x22(a4)xa20，则4(a4)24a20，a2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(a4)，x1x2a2，AB8，即1.20，即a8.设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，AB.AB，即a28a480，解得a4或a12，所求抛物线的方程为x24y或x212y.13已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦求证：(1)y1y2p2；x1x2；(2)；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证明(1)如图所示，设AB中点为C(x0，y0)，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，C1.抛物线y22px(p0)的焦点F，准线方程：x.设直线AB的方程为xky，把它代入y22px，化简，得y22pkyp20.y1y2p2，x1x2.(2)根据抛物线定义知FAAA1x1，FBBB1x2，.(3)CC1(AA1BB1)(AFBF)AB.以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切三、探究与拓展14已知在抛物线yx2上存在两个不同的点M，N关于直线ykx对称，则k的取值范围为_考点直线与抛物线位置关系题点直线与抛物线位置关系答案解析设M(x1，x)，N(x2，x)关于直线ykx对称，即x1x2.设MN的中点为P(x0，y0)，则x0，y0k4.又中点P在抛物线yx2内，42，即k2，k或k.15已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py (p0)相交于B，C两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由题意知直线l的方程为x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由，及p0得y11，y24，p2，则抛物线G的方程为x24y.(2)直线l的斜率存在，设l：yk(x4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，B(xB，yB)，C(xC，yC)由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.线段BC的中垂线方程为y2k24k(x2k)，线段BC的中垂线在y轴上的截距为b2k24k22(k1)2，对于方程，由16k264k0，得k0或k4.b2或b18，b(2，)
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