资源描述
1圆的极坐标方程 1曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(，)0，并且坐标适合方程f(，)0的点都在曲线C上，那么方程f(，)0叫做曲线C的极坐标方程(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式将列出的关系式整理、化简证明所得方程就是曲线的极坐标方程2圆的极坐标方程(1)圆心在C(a,0)(a0)，半径为a的圆的极坐标方程为2acos_.(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为r.(3)圆心在点处且过极点的圆的方程为2asin (0)圆的极坐标方程例1求圆心在(0，0)，半径为r的圆的方程思路点拨结合圆的定义求其极坐标方程解在圆周上任取一点P(如图)，设其极坐标为(，)由余弦定理知：|CP|2|OP|2|OC|22|OP|OC|cosCOP，故其极坐标方程为r2220cos(0)几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即00时，方程为r2220cos ，若再有0r，则其方程为20cos 2rcos ，若0r，00，则方程为2rcos(0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置1求圆心为C，半径为1的圆的极坐标方程解：设圆C上任意一点的极坐标为M(，)，如图，在OCM中，由余弦定理，得|OM|2|OC|22|OM|OC|cos|CM|2，即22cos10.当O，C，M三点共线时，点M的极坐标也适合上式，所以圆的极坐标方程为22cos10.2求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程解：设M(，)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，则有|OB|4，|OM|，MOB，BMO90，从而BOM为直角三角形有|OM|OB|cosMOB即4cos4sin .极坐标方程与直角坐标方程的互化例2把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状(1)2acos (a0)；(2)9(sin cos )；(3)4；(4)2cos 3sin 5.解(1)两边同时乘以，得22acos ，即x2y22ax，整理得(xa)2y2a2，它是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆(2)两边同时乘以，得29(sin cos )，即x2y29x9y，整理得22.它是以为圆心，以为半径的圆(3)将4两边平方，得216，即x2y216.它是以原点为圆心，以4为半径的圆(4)2cos 3sin 5，即2x3y5，是一条直线两种坐标方程间进行互化时的注意点(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在02范围内求值(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形3曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_解析：将x2y22，xcos 代入x2y22x0，得22cos 0，整理得2cos .答案：2cos 4把下列直角坐标方程化为极坐标方程(1)yx；(2)x2y21.解：(1)将xcos ，ysin 代入yx得sin cos ，从而.(2)将xcos ，ysin 代入x2y21，得2cos22sin21，化简，得2.5把下列极坐标方程化为直角坐标方程(1)6cos ；(2)2cos.解：(1)因为6cos ，所以26cos ，所以化为直角坐标方程为x2y26x0.(2)因为2cos cos2sin sincos sin ，所以2cos sin .所以化为直角坐标方程为x2y2xy0.一、选择题1极坐标方程sin cos 表示的曲线是()A直线B圆C椭圆 D抛物线解析：选B极坐标方程sin cos 即2(sin cos )，化为直角坐标方程为x2y2xy，配方得22，表示的曲线是以为圆心，为半径的圆故选B.2如图，极坐标方程2sin的图形是()解析：选C圆2sin是由圆2sin 绕极点按顺时针方程旋转而得，圆心的极坐标为，故选C.3在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是()A. B.C(1,0) D(1，)解析：选B由2sin 得22sin ，化成直角坐标方程为x2y22y，即x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为.故选B.4在极坐标系中，点到圆2cos 的圆心的距离为()A2 B. C. D.解析：选D极坐标系中的点化为平面直角坐标系中的点为(1，)，极坐标系中的圆 2cos 化为平面直角坐标系中的圆为x2y22x，即(x1)2y21，其圆心为(1,0)所求两点间的距离为.故选D.二、填空题5把圆的普通方程x2(y2)24化为极坐标方程为_解析：圆的方程x2(y2)24化为一般方程为x2y24y0，将xcos ，ysin 代入，得2cos22sin24sin 0，即4sin .答案：4sin 6曲线C的极坐标方程为3sin ，则曲线C的直角坐标方程为_解析：由3sin ，得23sin ，故x2y23y，即所求方程为x2y23y0.答案：x2y23y07在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos 于A，B两点，则|AB|_.解析：由题意知，直线方程为x3，曲线方程为(x2)2y24，将x3代入圆的方程，得y，则|AB|2.答案：2三、解答题8把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化(1)x2y22x0；(2)cos 2sin ；(3)2cos2.解：(1)x2y22x0，22cos 0，2cos .(2)cos 2sin ，2cos 2sin ，x2y2x2y，即x2y2x2y0.(3)2cos2，42cos2(cos )2(x2y2)2x2，即x2y2x或x2y2x.9过极点O作圆C：8cos 的弦ON，求弦ON的中点M的轨迹方程解：法一(代入法)：设点M(，)，N(1，1)因为点N在圆8cos 上，所以18cos 1.因为点M是ON的中点，所以12，1，所以28cos ，所以4cos .所以点M的轨迹方程是4cos .法二(定义法)：如图，圆C的圆心C(4,0)，半径r|OC|4，连接CM.因为M为弦ON的中点，所以CMON.故M在以OC为直径的圆上，所以动点M的轨迹方程是4cos .10若圆C的方程是2asin ，求：(1)关于极轴对称的圆的极坐标方程；(2)关于直线对称的圆的极坐标方程解：法一：设所求圆上任意一点M的极坐标为(，)(1)点M(，)关于极轴对称的点为(，)，代入圆C的方程2asin ，得2asin()，即2asin 为所求(2)点M(，)关于直线对称的点为，代入圆C的方程2asin ，得2asin，即2acos 为所求法二：由圆的极坐标方程2asin 得22asin ，利用公式xcos ，ysin ，化为直角坐标方程为x2y22ay，即x2(ya)2a2，故圆心为C(0，a)，半径为|a|.(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，a)，圆的方程为x2(ya)2a2，即x2y22ay，所以22asin ，故2asin 为所求(2)由得tan 1，故直线的直角坐标方程为yx.圆x2(ya)2a2关于直线yx对称的圆的方程为(y)2(xa)2a2，即(xa)2y2a2，于是x2y22ax，所以22acos .故此圆的极坐标方程为2acos .
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