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第2讲万有引力与航天一、选择题(本大题共8小题,每小题8分,共64分.第15题只有一项符合题目要求,第68题有多项符合题目要求)1.(2018宿迁模拟)许多科学家在经典物理学发展中作出了重要贡献,下列叙述中符合史实的是(D)A.哥白尼提出了日心说并发现了行星沿椭圆轨道运行的规律B.开普勒在前人研究的基础上,提出了万有引力定律C.牛顿提出了万有引力定律,并通过实验测出了万有引力常量D.卡文迪许通过扭秤实验测出了万有引力常量解析:哥白尼提出了日心说,而开普勒发现了行星沿椭圆轨道运行的规律,故A错误;牛顿在前人研究的基础上,提出万有引力定律,故B错误;牛顿提出了万有引力定律,卡文迪许通过扭秤实验测出了万有引力常量,故C错误,D正确.2.(2018宝鸡一模)在同一轨道平面上的两颗人造地球卫星A,B同向绕地球做匀速圆周运动,周期分别为TA,TB,轨道半径rBrA,某时刻A,B和地球恰好在同一条直线上,从此时刻开始到A,B和地球再次共线的时间间隔为t,下列说法中正确的是(D)A.A,B卫星的线速度vAvBB.A,B卫星的向心加速度aAvB,故A错误;由a=GMr2知,卫星的轨道半径越大,向心加速度越小,故B错误;由几何关系可知,若开始A,B在地球同侧,则A比B多转一圈,则有tTA-tTB=1,则tTA;若开始A,B在地球两侧,则A比B多转12圈,有tTA-tTB=12,得tTA2,总之,t一定大于TA2,故C错误,D正确.3.(2018永州三模)2018年3月30日01时56分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭(及远征一号上面级),以“一箭双星”方式成功发射第三十、三十一颗北斗导航卫星.这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星,是我国北斗三号第七、八颗组网卫星.北斗导航卫星的轨道有三种:地球静止轨道(高度35 809 km)、倾斜地球同步轨道(高度35 809 km)、中圆地球轨道(高度21 607 km),如图所示.已知地球半径为6 370 km,下列说法正确的是(D)A.中圆地球轨道卫星的周期一定比静止轨道卫星的周期长B.中圆地球轨道卫星受到的万有引力一定比静止轨道卫星受到的万有引力大C.倾斜同步轨道卫星的线速度为4 km/sD.倾斜同步轨道卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方解析:卫星绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,根据牛顿第二定律,有GMmr2=m42T2r,解得T=2r3GM,故中圆地球轨道的卫星的周期小于静止轨道的卫星的周期,故A错误;中圆地球轨道的卫星与静止轨道的卫星的质量关系未知,故无法比较万有引力大小,故B错误;倾斜同步轨道卫星的轨道半径与静止轨道卫星的轨道半径相等,故公转周期相等,线速度v=2rT=23.14(6 370+35 809)103243 600 m/s3 066 m/s,故C错误;倾斜同步轨道卫星周期为24 h,则卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方,故D正确.4.(2018朝阳一模)2017年12月11日0时40分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,成功将阿尔及利亚一号通信卫星送入如图所示的地球同步转移轨道.该轨道的近地点为M,远地点为N,忽略空气阻力,则下列说法正确的是(B)A.卫星经过M点时的速度最小B.卫星经过N点时的速度最小C.卫星在M点的加速度最小D.卫星在从M到N的过程中机械能减小解析:依据开普勒第二定律,可知卫星在M点的速度大于在N点的速度,故A错误,B正确;根据引力产生加速度可知在M点的加速度最大,故C错误;卫星只在引力作用下做椭圆运动,机械能守恒,故D错误.5.(2018厦门一模)由中山大学发起的空间引力波探测工程“天琴计划”于2015年启动,对一个超紧凑双白矮星系统产生的引力波进行探测.该计划采用三颗相同的卫星(SC1,SC2,SC3)构成一个等边三角形阵列,三角形边长约为地球半径的27倍,地球恰好处于三角形中心,卫星将在以地球为中心的圆轨道上运行,如图所示(只考虑卫星和地球之间的引力作用),对该计划中的卫星,下列说法正确的是(A)A.运行的周期大于近地卫星的运行周期B.运行的向心加速度大于近地卫星的向心加速度C.运行的速度等于第一宇宙速度D.发射速度应大于第二宇宙速度解析:根据GMmr2=m42rT2得T=42r3GM,则半径越大,周期越大,由于该计划中的卫星绕地球运行的半径大于近地卫星的运行半径,则运行的周期大于近地卫星的运行周期,故A正确;根据GMmr2=ma,解得a=GMr2,则该计划中的卫星绕地球运行的向心加速度小于近地卫星的向心加速度,故B错误;第一宇宙速度是绕地球运动的最大速度,则三颗卫星线速度都小于第一宇宙速度,故C错误;三颗卫星围绕地球做匀速圆周运动,则发射速度小于第二宇宙速度,故D错误.6.(2018济宁二模)我国探月工程三期返回飞行试验器创造了我国航天工程的多个第一,其中包括跳跃式返回技术.跳跃式返回技术指航天器在关闭发动机后进入大气层,依靠大气升力再次冲出大气层,降低速度后再进入大气层.如图所示,虚线为大气层的边界,已知地球半径为R,地心到d点距离为r,地球表面重力加速度为g.下列说法中正确的是(BC)A.飞行试验器在b点处于完全失重状态B.飞行试验器在d点的加速度等于gR2r2C.飞行试验器在a点的速率大于在c点的速率D.飞行试验器在c点的速率大于在e点的速率解析:飞行试验器在进入大气层后受到空气阻力和地球引力,从a到b加速度方向背离地心,在b点处于超重状态,故A错误;飞行试验器在d点受到的万有引力F=GMmr2,在地球表面有mg=GMmR2,根据牛顿第二定律a=Fm=GMr2=gR2r2,故B正确;a到c的过程中,飞行试验器克服大气层的阻力做功,所以机械能减小,a点的速率大于c点的速率,故C正确;飞行试验器在大气层外运动的过程中机械能守恒,c点和e点到地球球心的距离相等,引力势能相等,所以速率也相等,故D错误.7.(2018吉林模拟)气象卫星是用来拍摄云层照片、观测气象资料和测量气象数据的.我国先后自行成功研制和发射了“风云号”和“风云号”两颗气象卫星,“风云号”卫星轨道与赤道平面垂直并且通过两极,称为“极地圆轨道”,每12 h巡视地球一周.“风云号”气象卫星轨道平面在赤道平面内,称为“地球同步轨道”,每24 h巡视地球一周,则“风云号”卫星比“风云号”卫星(BD)A.角速度小 B.线速度大C.万有引力小D.向心加速度大解析:由万有引力提供向心力GMmr2=mr42T2,得T=2r3GM,而=2T,可知周期大的半径大,角速度小,“风云号”的半径小,则角速度大,选项A错误;由v=GMr,则半径小的线速度大,选项B正确;因引力与质量有关,而质量大小不知,则不能确定引力大小,选项C错误;由GMmr2=ma得向心加速度a=GMr2,则半径小的向心加速度大,选项D正确.8.(2018福建省厦门双十中学高三热身)地面卫星监测技术在军事、工业、农业、生产、生活等方面发挥着巨大作用,对地面上的重要目标需要卫星不间断地进行跟踪监测是一项重要任务.假设在赤道上有一个需跟踪监测的目标,某监测卫星位于赤道平面内,离地面的飞行高度为R,飞行方向与地球自转方向相同,设地球的自转周期为T,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,忽略大气层对光线传播的影响,则此卫星在一个运动周期内对目标连续监测的最长时间为t,卫星的运转周期为T,则(AC)A.T=4R2RGMB.T=2RRGMC.t=23(g8R-2T) D.t=g8R-2T解析:根据GMm(2R)2=m2R42T2,得卫星的周期T=4R2RGM,故A正确,B错误;如图所示,卫星从A到B,地球自转从C到D,根据几何关系,卫星在t时间内比地球自转的角度多120度,则有t-2Tt=23,而卫星的角速度=2T=1RGM8R,由GM=gR2得=g8R,解得t=23(g8R-2T),故C正确,D错误.二、非选择题(本大题共2小题,共36分)9.(18分)(2018江西模拟)开普勒第三定律指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即a3T2=k,k是一个对所有行星都相同的常量.(1)将行星绕太阳的运动按圆周运动处理,请你推导出太阳系中该常量k的表达式.已知引力常量为G,太阳的质量为M太.(2)开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系,它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立.经测定地月距离为3.84108 m,月球绕地球运动的周期为2.36106 s,试计算地球的质量M地.(G=6.6710-11 Nm2/kg2,结果保留一位有效数字)解析:(1)因行星绕太阳做匀速圆周运动,于是轨道的半长轴a即为轨道半径r.根据万有引力定律和牛顿第二定律有Gm行M太r2=m行（2T）2r,于是有r3T2=G42M太,即k=G42M太.(2)在地月系统中,设月球绕地球运动的轨道半径为R,周期为T,由(1)可得R3T2=G42M地,解得M地=61024 kg.答案:(1)k=G42M太(2)61024 kg10.(18分)(2018辽宁五校联考)阅读如下材料,并根据材料中的有关信息回答问题.表中是地球和太阳的有关数据:平均半径R地=6.371103 kmR日=110R地质量M地M日=333 000M地平均密度地日=14地已知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v=7.9 km/s,引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2,光速c=3108 ms-1.大约200年前,法国数学家、天文学家拉普拉斯曾预言一个直径如地球,质量为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它,其逃逸速度大于真空中的光速(逃逸速度为第一宇宙速度的2倍),这一奇怪的星体就叫做黑洞.在下列问题中,把星体(包括黑洞)看成是一个质量均匀分布的球体.(1)(2)的计算结果用科学计数法表示,且保留一位有效数字;(3)的推导结论用字母表示(1)试估算地球的质量;(2)试估算太阳表面的重力加速度;(3)已知某星体演变为黑洞时的质量为M,求该星体演变为黑洞时的临界半径R.解析:(1)物体绕地球表面做匀速圆周运动,GM地mR地2=mv2R地,解得M地=R地v2G=61024 kg.(2)在地球表面,有GM地mR地2=mg地,解得g地=GM地R地2,同理,在太阳表面,有g日=GM日R日2,得g日=M日R地2M地R日2g地=3102 m/s2.(3)由第一宇宙速度的定义得GMmR2=mv12R,第二宇宙速度v2=c=2v1,联立解得R=2GMc2.答案:(1)61024 kg(2)3102 m/s2(3)2GMc2
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