公开课用向量的方法求二面角.ppt

课题 利用法向量求二面角 证大中学 何金晶 四 教学过程的设计与实施 2 如何作二面角 l 的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 这条直线叫做 这两个半平面叫做 二面角 二面角的棱 二面角的面 1 二面角的定义 与面 如图 是直角梯形 所成的二面角的余弦值 求面 你能找到所求二面角的棱吗 异面直线所成的角 四 教学过程的设计与实施 直线与平面所成的角 如何用向量法求面面所成角呢 探究新知 问题 二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没有关系 探究新知 探究新知 问题 法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补 探究新知 细心想一想 你将有新发现 注意法向量的方向 一进一出 二面角等于法向量夹角 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 尝试 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角为 A 45 B 135 C 45 或135 D 90 解析即 m n 45 其补角为135 两平面所成二面角为45 或135 C 练一练 与面 如图 是直角梯形 所成的锐二面角的余弦值 求面 例题精讲 审题指导 本题是求二面角的余弦值 可重点关注向量法求二面角的余弦值 本题的特点是图中没有出现两个平面的交线 不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决 利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性 解 则 建立如图所示的空间直角坐标系 则 启示 求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角 是平面SAB的法向量 就是二面角的平面角 所求锐二面角的余弦值为 令z 1解之得 四 教学过程的设计与实施 例2 在正方体 中 求二面角 的余弦值 法一 法二 法三 利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作 证二面角的过程 解题的关键是确定相关平面的法向量 如果图中的法向量没有直接给出 那么必须先创设法向量 利用法向量求二面角的平面角的一般步骤 建立坐标系 巩固练习 2009 天津理 19 如图 在五面体ABCDEF中 FA 平面ABCD AD BC FE AB AD M为EC的中点 AF AB BC FE 1 求异面直线BF与DE所成的角的大小 2 证明 平面AMD 平面CDE 3 求二面角A CD E的余弦值 1 解如图所示 建立空间直角坐标系 点A为坐标原点 设AB 1 依题意得B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 2 0 E 0 1 1 F 0 0 1 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60 2 证明 又AM AD A 故CE 平面AMD 而CE 平面CDE 所以平面AMD 平面CDE 3 解设平面CDE的法向量为u x y z 令x 1 可得u 1 1 1 又由题设 平面ACD的一个法向量v 0 0 1 因为二面角A CD E为锐角 所以其余弦值为 小结 1 利用法向量求二面角大小的优势 避免了繁难的作 证二面角的过程 将几何问题转化为数值计算 2 利用法向量求二面角大小的关键 确定相关平面的法向量 3 利用法向量求二面角大小的缺点 计算量相对比较大 谢谢