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2.1.2离散型随机变量的分布列(一)学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质知识点离散型随机变量的分布列思考掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？答案(1)x1,2,3,4,5,6，概率均为.(2)X与P的对应关系为X123456P梳理(1)离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0，i1,2,3，n；1.1在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数()2在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积()3在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()类型一离散型随机变量分布列的性质例1设随机变量X的分布列为Pak(k1,2,3,4,5)(1)求常数a的值；(2)求P；(3)求P.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率解(1)由a2a3a4a5a1，得a.(2)Pk(k1,2,3,4,5)，PPPP(X1).(3)当X时，只有X，时满足，故PPPP.反思与感悟利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题(1)X的各个取值表示的事件是互斥的(2)不仅要注意1，而且要注意pi0，i1,2，n.跟踪训练1(1)设随机变量只能取5,6,7，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P(x)，则x的取值范围是_(2)设随机变量X的分布列为P(Xi)(i1,2,3)，则P(X2)_.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率答案(1)(5,6(2)解析(1)由条件知P(k)，k5,6，16，P(x)，故5x6.(2)由已知得随机变量X的分布列为X123P1，k.P(X2)P(X2)P(X3).类型二求离散型随机变量的分布列例2已知随机变量的分布列为210123P分别求出随机变量1，22的分布列考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点两个相关的随机变量分布列的求法解由1知，对于取不同的值2，1,0,1,2,3时，1的值分别为1，0，1，所以1的分布列为1101P由22知，对于的不同取值2,2及1,1，2分别取相同的值4与1，即2取4这个值的概率应是取2与2的概率与的和，2取1这个值的概率应是取1与1的概率与的和，所以2的分布列为20149P反思与感悟(1)若是一个随机变量，a，b是常数，则ab也是一个随机变量，推广到一般情况有：若是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f()也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若为离散型随机变量，则f()也为离散型随机变量(2)已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量f()的分布列的关键是弄清楚取每一个值时对应的的值，再把取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可跟踪训练2已知随机变量的分布列为210123P分别求出随机变量1，222的分布列考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点两个相关随机变量分布列的求法解由1，对于2，1,0,1,2,3，得1，相应的概率值为，.故1的分布列为1P由222，对于2，1,0,1,2,3，得28,3,0，1,0,3.所以P(28)，P(23)，P(20)，P(21).故2的分布列为28301P例3某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列考点离散型随机变量的分布列题点求离散型随机变量的分布列解将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列为X1234P反思与感悟求离散型随机变量分布列的步骤(1)首先确定随机变量X的取值；(2)求出每个取值对应的概率；(3)列表对应，即为分布列跟踪训练3一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X表示取出的3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列考点离散型随机变量的分布列题点求离散型随机变量的分布列解随机变量X的可能取值为1,2,3.当X1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P(X1)；当X2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P(X2)；当X3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P(X3).因此，X的分布列为X123P类型三离散型随机变量的分布列的综合应用例4袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数(1)求袋中原有的白球的个数；(2)求随机变量的分布列；(3)求甲取到白球的概率考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点排列、组合知识在分布列中的应用解(1)设袋中原有n个白球，由题意知，可得n3或n2(舍去)，即袋中原有3个白球(2)由题意，的可能取值为1,2,3,4,5.P(1)；P(2)；P(3)；P(4)；P(5).所以的分布列为12345P(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)P(1)P(3)P(5).反思与感悟求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出的所有取值，二是求出取每一个值时的概率跟踪训练4北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量12311从中随机地选取5只(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点排列、组合知识在分布列中的应用解(1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P.(2)X的取值为100,80,60,40.P(X100)，P(X80)，P(X60)，P(X40).所以X的分布列为X100806040P1已知随机变量X的分布列如下：X12345678910Pm则P(X10)等于()A. B.C. D.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率答案C解析P(X10)1.2已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)等于()X101PabcA. B.C. D.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率答案D解析a，b，c成等差数列，2bac.由分布列的性质得abc3b1，b.P(|X|1)P(X1)P(X1)1P(X0)1.3已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果错误的是()Aa0.1BP(X2)0.7CP(X3)0.4DP(X1)0.3考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率答案C解析易得a0.1，P(X3)0.3，故C错误4设是一个离散型随机变量，其分布列为101P12qq2则P(0)_.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率答案解析由分布列的性质，得12q0，q20，(12q)q21，所以q1，q1(舍去)P(0)P(1)P(0)12.5将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数的分布列考点离散型随机变量的分布列题点求离散型随机变量的分布列解由题意知i(i1,2,3,4,5,6)，则P(1)；P(2)；P(3)；P(4)；P(5)；P(6).所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为123456P1离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况2一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和一、选择题1设随机变量X等可能取值1,2,3，n，如果P(X4)0.3，那么()An3 Bn4Cn10 Dn9考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点由分布列的性质求参数答案C解析由题意知P(X4)3P(X1)0.3，P(X1)0.1，又nP(X1)1，n10.2若随机变量的分布列如下：210123P0.10.20.20.30.10.1则当P(x)0.8时，实数x的取值范围是()Ax1 B1x2C1x2 D1x2考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点由分布列的性质求参数答案C解析由分布列知，P(2)P(1)P(0)P(1)0.10.20.20.30.8，P(2)0.8，故1x2.3若随机变量X的概率分布列为P(Xn)(n1,2，3,4)，其中a是常数，则P的值为()A. B. C. D.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率答案D解析P(X1)P(X2)P(X3)P(X4)a1，a.PP(X1)P(X2)a.4随机变量的分布列如下：012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)x22x有且只有一个零点的概率为()A. B. C. D.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率答案B解析由题意知解得b.f(x)x22x有且只有一个零点，440，解得1，P(1).5设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量YX2，则P(Y2)等于()A0.3 B0.4 C0.6 D0.7考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率答案A解析由0.20.10.10.3m1，得m0.3.又P(Y2)P(X4)0.3.6抛掷2枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X4)等于()A. B. C. D.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率答案A解析根据题意，有P(X4)P(X2)P(X3)P(X4)抛掷两枚骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X2对应(1,1)，X3对应(1,2)，(2,1)，X4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)故P(X2)，P(X3)，P(X4)，所以P(X4).7已知随机变量只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是()A. B.C3,3 D0,1考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求参数答案B解析设随机变量取x1，x2，x3的概率分别为ad，a，ad，则由分布列的性质，得(ad)a(ad)1，故a.由解得d.二、填空题8一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则P_.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率答案解析设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为k个的分布列为123PPP(1).9由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下：X123456P0.200.100.50.100.10.20根据该表可知X取奇数值时的概率是_考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率答案0.6解析由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P(X3)0.25，P(X5)0.15，故X取奇数值时的概率为P(X1)P(X3)P(X5)0.200.250.150.6.10把3枚骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则有P(X2)_.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求概率答案解析P(X2)P(X0)P(X1).11将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是_考点离散型随机变量的分布列题点求离散型随机变量的分布列答案X123P解析由题意知X1,2,3.P(X1)；P(X2)；P(X3).X的分布列为X123P三、解答题12设S是不等式x2x60的解集，整数m，nS.(1)设“使得mn0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；(2)设m2，求的分布列考点离散型随机变量的分布列题点求离散型随机变量的分布列解(1)由x2x60，得2x3，即Sx|2x3由于m，nZ，m，nS且mn0，所以事件A包含的基本事件为(2,2)，(2，2)，(1,1)，(1，1)，(0,0)(2)由于m的所有不同取值为2，1,0,1,2,3，所以m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(0)，P(1)，P(4)，P(9).故的分布列为0149P13将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X，求X的分布列考点离散型随机变量的分布列题点求离散型随机变量的分布列解第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X的可能取值为5，4，3，2，1,0,1,2,3,4,5，则P(X5)，P(X4)，P(X5).故X的分布列为X54321012345P四、探究与拓展14袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，记得分为随机变量，则P(6)_.考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点排列、组合知识在分布列中的应用答案解析取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1，相应的黑球个数为0,1,2,3，其得分4,6,8,10，则P(6)P(4)P(6).15在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X的分布列，并求出P(5X25)的值考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点排列、组合知识在分布列中的应用解(1)该顾客中奖的概率P11.(2)X的可能取值为0,10,20,50,60.P(X0)，P(X10)，P(X20)，P(X50)，P(X60).故随机变量X的分布列为X010205060P所以P(5X25)P(X10)P(X20).
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