理论力学10弯曲的应力分析和强度计算.ppt

第十章弯曲的应力分析和强度计算 弯曲的应力分析和强度计算 10 1弯曲内力 剪力和弯矩 一 概述 2 弯曲的应力分析和强度计算 车削工件 3 弯曲的应力分析和强度计算 火车轮轴 4 弯曲的应力分析和强度计算 吊车梁 直杆在与其轴线垂直的外力作用下 轴线成曲线形状的变形称为弯曲 以弯曲变形为主的杆件称为梁 5 弯曲的应力分析和强度计算 平面弯曲 MZ 截面特征 杆具有纵向对称面 横截面有对称轴 y轴 受力特点 外力都作用在对称面内 力垂直于杆轴线变形特点 弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线 6 弯曲的应力分析和强度计算 梁的基本形式 F q x Mx 简支梁 F q x Mx 外伸梁 F q x Mx 悬臂梁 7 弯曲的应力分析和强度计算 火车轮轴简化为外伸梁 8 弯曲的应力分析和强度计算 二 剪力与弯矩 截面法求内力 F y 0 c RA P Q 01 M 0M P x a RAx 01 Q RA P1 剪力 M RAx P x a 弯矩1 9 弯曲的应力分析和强度计算 剪力符号规定 当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针转动时为正 反之为负 弯矩符号规定 弯矩使微段梁凹向上为正 反之为负 10 弯曲的应力分析和强度计算 思考 梁的内力符号是否和坐标系有关 答 无关 如图所示连续梁 和 部分的内力情况如何 A 0 0 E B C F PD XC Pcos 答 轴力不为零 剪力和弯矩为零 11 例 1 如图所示为受集中力及均布载荷作用的外伸梁 试求 截面上的剪力和弯矩 解 1 支座约束力 M M B 0 RA 4 P 2 q 2 1 0 A 0 P 2 RB 4 q 2 5 0 RA 1 5kN RB 7 5kN 12 例 1 2 计算内力 F 0 MC 0 y 1 RA Q1 0 RA 1 M1 0 M1 1 5kN m Q1 1 5kN F x 0 C2 Q2 q 1 0 M 0M2 q 1 0 5 0 Q2 2kN M2 1kN m 13 弯曲的应力分析和强度计算 三 剪力与弯矩方程剪力图和弯矩图 设x表示横截面的位置 则梁各截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数 Q Q x 剪力方程 M M x 弯矩方程 梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系 常用图形来表示 这种图形称为剪力图和弯矩图 14 例 2 如图所示为一受集中力作用的简支梁 设P l及a均为已知 试列出剪力方程和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 解1 求支座约束力 l aRA Pl aRB Pl 2 列剪力方程和弯矩方程 AC段 l aQ x1 RA Pl 0 x1 a M x1 l aM x1 RAx1 Px1 0 x1 a l Q x1 15 例 BC段 2 aQ x2 RB Pl a x2 l Q x2 RB aM x2 RB l x2 P l x2 l a x2 l 3 画剪力图和弯矩图 l aPl M x2 a l a Pl aPl 16 例 3 m悬臂梁受集中力和集中力偶作用 已知 P l 3Pl2试绘剪力图和弯矩图 解1 求支座约束力 Fy 0 RA P 0 3Pl Pl mA 0MA 0 2PlRA PmA 2 2 确定剪力 弯矩方程 AC段 l 0 x1 Q x1 RA P2lPl 0 x1 M x1 RAx1 mA Px1 22 17 例 CB段 3 Q x2 P l x2 l 2 M x2 P l x2 l x2 l 2 3 画剪力图和弯矩图 18 例 4 如图所示简支梁 已知q l 试画出剪力图和弯矩图 解1 求支座约束力 qlRA RB 2 2 确定剪力方程和弯矩方程 qlQ x qx2 0 x 1 l 2 qlqxM x x 22 0 x l 19 3 画剪力图和弯矩图 弯曲的应力分析和强度计算 四 外力与剪力及弯矩间的关系 1 载荷集度 剪力及弯矩间的微分关系 设载荷集度是x的连续函数 q q x 规定 向上为正 F y 0 Q x Q x dQ x q x dx 0 dQ x q x dx 20 弯曲的应力分析和强度计算 dxMc 0M x dM x M x Q x dx q x dx 0 2 dM x Q x dx 2 dM x q x 2dx 2 集中力 集中力偶作用处的剪力及弯矩 F y 0 Q P 集中力 包括支座约束力 作用处的两侧截面上的剪力数值发生突变 且突变值等于集中力的值 21 弯曲的应力分析和强度计算 工程实际中 所谓的集中力不可能集中于一点 而是分布在很小的范围内 MC 0 M M M 在集中力偶作用的两个侧面上 弯矩数值发生突变 且突变值的大小等于集中力偶的值 22 弯曲的应力分析和强度计算 3 载荷集度 剪力图及弯矩图图形上的关系 q Q M图的线型依次递高一次 若q为水平线 则Q图将为斜线 而M图则为二次曲线 若q等于零 则Q图将为水平线 而M图则为斜线 M图的凹向同q指向 当q指向上方时 q值为正 M对x的二阶导数大于零 弯矩图将凹向上 反之M图将向下凹曲 当Q等于零时 M取极值 集中力作用的截面 Q图有突变 突变值等于集中力的值 M图上有折点 集中力偶作用的截面 M图有突变 突变值等于集中力偶的值 23 例 5 2 m如图所示外伸梁 已知 q l P ql3 ql试画出剪力图和弯矩图 6 解1 求支座约束力 M c 0 2 l3lqlqllRAl q 0246322llqlql3l RCl 0qMA 0 24632 3RA ql8 11RC ql24 2 分段 分为AB BC CD三段 24 例 5 3RA ql8 11RC ql24 3 求端值利用直接法计算各段左 右两端截面上的剪力和弯矩 25 例 5 4 画剪力图和弯矩图 26 弯曲的应力分析和强度计算 五 用叠加法作剪力图和弯矩图 P ql 当梁上有多个外力作用时各外力引起的内力互不相关 因此可以分别计算各外力所引起的内力 然后进行叠加 叠加法 27 弯曲的应力分析和强度计算 10 2 纯弯曲梁横截面上的正应力分析 梁弯曲时 横截面上一般有两种内力 剪力和弯矩 这种弯曲称为横力弯曲 梁弯曲时 横截面上只有弯矩 而没有剪力 这种弯曲称为纯弯曲 28 弯曲的应力分析和强度计算 一 纯弯曲梁的正应力 1 变形方面 实验观察 纵向线在梁变形后变成弧线 靠顶面的线缩短 靠底面的线伸长 横向线在梁变形后仍为直线 但相对转过了一个角度 且仍然与弯曲的纵向线保持正交 平面假设 纯弯曲梁是由无数条纵向线所组成 变形前处于同一平面的各纵向线上的点 弯曲变形后仍处于同一平面内 且纵向线与横截面在变形中保持正交 29 弯曲的应力分析和强度计算 根据平面假设 由实验观察到的表面现象已推广到梁的内部 即梁在纯弯曲变形时 横截面保持平面作刚性转动 靠底部的纵向纤维伸长了 靠顶部的纵向纤维缩短了 由于变形的连续性 中间必有一层纤维既不伸长也不缩短 这层纤维称为中性层 中性层与横截面的交线称为中性轴 30 弯曲的应力分析和强度计算 a a dxdx 线应变随y按线性规律变化 l 31 弯曲的应力分析和强度计算 2 物理方程 假设纵向纤维在弯曲变形中相互不挤压 且材料在拉伸及压缩时的弹性模量相等 M Z y 胡克定律 E E y C minz y x max 纯弯曲时的正应力按线性规律变化 横截面中性轴的正应力为零 在中性轴两侧 一侧受拉应力 一侧受压应力 与中性轴距离相等各点的正应力数值相等 32 弯曲的应力分析和强度计算 3 静力学条件 E y F A x 0 dA FN 0 A dA AE y AydA 0 dA E AydA 0 截面对中性轴的静矩 静矩为零的轴是形心轴 中性轴通过截面的形心 33 弯曲的应力分析和强度计算 M z 0 y M ydA A E y M AyE 1 dA E AydA 2 M EIxz My 0 Az dA E Az dA 0 AzydA 0 横截面对y z的惯性积 由于y轴为对称轴 故惯性积为零 34 弯曲的应力分析和强度计算 M EIxz 1 E y M ymaxIZ M yIZ 纯弯曲梁横截面正应力计算公式 横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点 max max M WZ IZWZ ymax 弯曲截面系数 35 弯曲的应力分析和强度计算 二 惯性矩 常见截面的IZ和WZ 643 dWZ 32 圆截面 bhIZ 12 3 IZ d 4 IZ D 4 64 1 4 WZ 空心圆截面 D 3 32 1 4 3 3 bhWZ 6 矩形截面 2 b0h0bhIZ 121233b0h0bhWZ h0 2 1212 36 空心矩形截面 弯曲的应力分析和强度计算 思考 梁的截面形状如图所示 在 平面内作用有正弯矩 绝对值最大的正应力位置为哪一点 z a b y c 37 弯曲的应力分析和强度计算 有一直径为 的钢丝 绕在直径为 的圆筒上 钢丝仍处于弹性阶段 此时钢丝的弯曲最大正应力为多少 为了减少弯曲应力 应增大还是减小钢丝的直径 M EIxz 1 D d 2 2EIzM D d max dM2 Iz max Ed D d 38 例 6 受纯弯曲的空心圆截面梁如图所示 已知 弯矩M 1kN m 外径D 50mm 内径d 25mm 试求截面上a b c和d点的应力 并画出过a b两点直径线和过c d两点弦线上各点的应力分布情况 39 例 解 6 M 1kN m M yIZ Dya 25mm2dyb 12 5mm2221221Dd250252 21 7mmyc 4444 yd 0 IZ 64 D d 4 4 64 50 25 10 2 88 10m 4 4 34 7 4 40 例 6 3 M1 10 3ya 25 10 86 8MPa a 7IZ2 88 10 M1 10 3 b yb 12 5 10 43 4MPa 7IZ2 88 10 3 M1 10 3yc 21 7 10 75 3MPa c 7IZ2 88 10 3 Myd 0 d IZ a c d 0 b 41 弯曲的应力分析和强度计算 10 3 纯弯曲应力公式的应用 横力弯曲时 由于剪力的影响 弯曲变形后 横截面发生翘曲 不再保持平面 但当剪力为常量时 各截面的翘曲程度完全相同 因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差距 对于剪力为常量的横力弯曲 纯弯曲的正应力计算公式仍然适用 对于剪力不为常量的横力弯曲 当梁的跨度与横截面高度的比值较大时 纯弯曲的正应力计算公式仍然适用 曲率公式也可推广用于横力弯曲梁中性层曲率计算 42 弯曲的应力分析和强度计算 弯曲正应力公式适用范围 弯曲正应力分布 My IZ 纯弯曲或细长梁的横力弯曲 横截面惯性积Iyz 0 弹性变形阶段 43 例 7 T字型截面梁如图所示 试求梁横截面上最大正应力 解 绘制弯矩图 得MB 10kN mMC 7 5kN m确定截面的形心 120 10 125 120 10 60 y 92 5mm120 10 120 10 44 例 7 3 3 120 1010 1202 120 10 32 5 Iz 1212264 120 10 32 5 3 99 10mm B截面的最大拉应力 Bt MB Iz ymax 10 10 3 37 5 10 93 9MPa6 343 99 10 10 3 C截面的最大拉应力 7 5 10 3 Ct 92 5 10 173 9MPaymax 6 343 99 10 10 Iz45梁的最大拉应力发生在C截面的下部边缘 MC 3 弯曲的应力分析和强度计算 10 4矩形截面梁弯曲切应力简介 一 矩形截面梁的弯曲切应力 关于横截面切应力分布规律的假设 侧边上的切应力与侧边相切 切应力沿z的方向均匀分布 Q M M dM dx Q dQ Q y y z 46 弯曲的应力分析和强度计算 M M dM x y z y Q dx Q dQ dx F x 0FN1 FS FN2 0 M dM M dM FN1 1dA ydA SzIzIz AA FN2 M SzIz FN2 FS Fs bdx z z y QS Izb z FN1 dMSQS dxIzbIzb 矩形截面梁横截面切应力计算公式47 弯曲的应力分析和强度计算 bhIZ 1222bh2 hSz A ydA yybdy y 242QhQh2 y max 2Iz48Iz3Q max 1 5 平均2bh 2 QS Izb z 3 b h yy a y Q z a1 A 沿高度方向抛物分布 y 0时 切应力值最大 梁上下表面处切应力为零 A 48 弯曲的应力分析和强度计算 二 其他截面梁的弯曲切应力 翼缘 Q 工字形 腹板上 工程上 QS Izd z H h d y t z 腹板 Q hd QS Izt z A By 49 翼缘上 假设切应力沿翼缘厚度方向大小相等 且与翼缘相平行 弯曲的应力分析和强度计算 圆截面 假设 弦线两端点处与圆周相切的切应力作用线交于y轴的p点 设弦线上其他点的切应力作用线均通过p点各点沿y方向的切应力分量相等 QS y Izb z 弦线长 max 4Q 23 R 50 弯曲的应力分析和强度计算 圆环截面 假设 沿圆环厚度方向切应力均匀分布并与圆环切线平行 Q max z QS 2tIz z y max Q Rt 51 弯曲的应力分析和强度计算 思考 用矩形截面梁的切应力公式 QS Izb计算图示截面 上各点的切应力时 式中的Sz是哪个面积对中性轴的静矩 z A B 52 弯曲的应力分析和强度计算 矩形截面梁若最大弯矩和最大剪力和截面宽度不变 而将高度增加一倍 最大正应力为原来的多少倍 最大切应力呢 max M3Q max 1 5 平均WZ2bh bhWZ 6 2 答 最大正应力为原来的四分之一 最大切应力是原来的二分之一 53 弯曲的应力分析和强度计算 弯曲强度计算 一般情况下 梁的横截面上同时存在正应力和切应力 最大正应力发生在离中性轴最远的各点上 最大切应力发生中性轴上 因此通常对弯曲正应力及弯曲切应力分别建立强度条件 一般来说 处于横截面边缘线上正应力最大的点处 切应力为零 所以梁弯曲时最大正应力的点可看成处于单向应力状态 梁弯曲时正应力强度条件 max M max Wz 54 弯曲的应力分析和强度计算 对于等截面梁 最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在的截面 梁弯曲时正应力强度条件 max Mmax Wz 为许用弯曲正应力 可近似利用简单拉伸时的许用应力 代替 但二者有区别 前者略高于后者 可查手册 对抗拉 压性能不同的材料 则要求最大拉应力和最大压应力都不超过许用值 tmax t cmax c 55 弯曲的应力分析和强度计算 一般来说 梁横截面上最大切应力发生在中性轴上 而该处的正应力为零 因此最大切应力点处于纯剪切应力状态弯曲切应力强度条件 max QS max Izb z 对于等截面梁 最大切应力发生在最大剪力所在的截面 弯曲切应力强度条件 max QmaxS Izb zmax 56 弯曲的应力分析和强度计算 对于细长的实心截面梁或非薄壁截面梁 横截面上的正应力是主要的 切应力只占次要地位 例 ql2Mmax8 3ql max 22bhWz4bh6ql3Qmax323ql max 2A2bh4bh 2 max max 3ql24bh l 3qlh4bh 2 57 弯曲的应力分析和强度计算 对于细长的实心截面梁或非薄壁截面梁 只要满足 正应力条件即可 对于薄壁截面梁或梁的弯矩较小 而剪力很大时 必须同时校核正应力强度条件和切应力强度条件 对于一些薄壁截面梁的横截面上 有时存在着正应力和切应力都很大的点 如工字形截面梁腹板和翼缘交界处各点 这样的点也可能成为危险点 需要进行强度校核 但该点的应力状态较复杂 需要利用强度理论讨论 58 例 8 某辊轴直径D 21cm 轴颈直径d 15cm 受均布载荷作用 q 400kN m 若已知 100MPa 试校核其强度 解 max M max Wz 3 辊轴中最大弯矩在C截面 Cmax MC90 10 99MPa 233 D 21 10 3232 轴颈中最大弯矩在D E截面 Dmax Emax MD40 10 121MPa 233 d 15 10 3232不满足强度要求 3 59 例 9 如图所示一铸铁制成的梁 已知截面图形对形心轴的惯74性矩Iz 4 5 10mm 1 50mm y2 140mm 材料许用y拉应力及许用压应力分别为 t 30MPa c 140MPa 试按正应力强度条件校核强度 60 例 解 9 由弯矩图可知B C截面的弯矩符号不同 截面上的中性轴为非对称轴 且材料的拉压许用应力不同故B C截面都可能是危险截面 B截面 Bt MB20 10 3 50 10 22 2MPay1 3474 5 10 10 IZ 3 BcBC MB20 10 3y2 140 10 62 2MPa 347IZ4 5 10 10 3 61 例 C截面 Ct 9 MC10 10 3 140 10 31 1MPay2 3474 5 10 10 IZ 3 最大拉应力在C截面上 最大压应力在B截面上 cmax c tmax t 虽最大拉应力大于许用拉应力 但未超过5 故可认为满足正应力强度条件 62 例 10 如图所示外伸梁受均布载荷作用 已知 160MPa 80MPa 试选择工字钢型号 解绘制剪力图 弯矩图 Qmax 58kN Mmax 44 1kN m Wz Mmax 276cm 3 63 例 10 在型钢表中查得 工字钢的Wz 309cm故选之 3 因工字形钢为薄壁截面 须进行弯曲切应力校核 由 型钢表查得Iz Sz 18 9cm d 7 5mm 则 max Qmax 40 9MPa Izd Sz 可以选用 工字钢 64 弯曲的应力分析和强度计算 提高粱弯曲强度的主要措施 设计梁的主要依据为弯曲正应力强度条件 max M max Wz 提高粱的强度 从以下四个方面考虑 合理地安排梁的支座和载荷 采用合理的截面形状 采用等强度梁 合理地使用材料 65 弯曲的应力分析和强度计算 一 合理地安排梁的支座和载荷 合理安排支座和载荷 以降低最大弯矩 Mmax 12 ql8 Mmax 12 ql40 66 弯曲的应力分析和强度计算 分散载荷 辅助梁 Mmax 1 Pl4 Mmax 1 Pl8 67 弯曲的应力分析和强度计算 二 采用合理的截面形状 弯曲截面系数Wz不仅与截面尺寸有关 还与截面形状有关 为了减少材料的消耗 减少自重 应取Wz A较大的截面形状 68 弯曲的应力分析和强度计算 从正应力分布角度分析 梁横截面上的正应力是按线性分布的 靠中性轴越近应力越小 工字形截面有较多面积分布在离中性轴较远处 作用着较大的面积 而矩形截面梁在中性轴附近分布较多承担较小应力的面积 因此 当两种截面的最大应力相等时 工字形截面形成的弯矩较大 抗弯能力较强 69 弯曲的应力分析和强度计算 对于抗拉 压强度不等的材料 应使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到 对于这种情况宜采用中性轴为非对称轴的截面 70 弯曲的应力分析和强度计算 注意截面的合理放置 bhWz6 0 167h Abh 2 hbWz6 0 167b Abh 71 2 弯曲的应力分析和强度计算 上述梁的合理截面形状是由满足弯曲正应力强度条件出发 仅由减少材料消耗 减轻自重的角度考虑 工程实际中选用合理的截面 还必须综合考虑是否满足切应力强度条件 刚度条件和稳定性等条件 是否满足结构和使用上的要求以及工艺 管理等方面的因素 才能最后决定 72 弯曲的应力分析和强度计算 三 采用等强度梁 横力弯曲时 梁的弯矩是随截面位置变化的 若设计成等截面梁 则除最大弯矩所在的截面以外 其他各截面的正应力均未达到许用应力值 材料强度得不到充分发挥 为了减少材料消耗 减轻自重 可把梁制成横截面随截面位置变化的变截面梁 变截面梁若截面变化比较缓慢 弯曲正应力公式仍可适用 当变截面梁各横截面上的最大弯曲正应力相等 且等于许用应力 即 max M x Wz x 这种梁称为等强度梁 M x Wz x 等强度梁截面的变化规律 73 弯曲的应力分析和强度计算 等高度矩形截面等强度梁 h为常量 b x hW x 6 PM x x2 2 3Pb x 2xh l 0 x 2 按上述设计左右两端点处 从切应力强度条件考虑 max P3Qmax32 2A2bminh bmin 3P 4h 74 弯曲的应力分析和强度计算 四 合理地使用材料 不同材料的力学性能是不同的 应尽量利用每一种材料的长处 例 可将两种以上的材料按一定规律复合后 形成一种新的更好的新材料 混凝土的抗压性能远高于抗拉性能 在用它制造梁时 可在梁的受拉区域放置钢筋 组成钢筋混凝土梁 在这种梁中 钢筋承受拉力 混凝土承受压力 夹层梁表层用高强度材料 芯子用轻质低强度的填充材料 这种梁既能降低自重 又能有足够的强度和刚度 75 弯曲的应力分析和强度计算 思考 铸铁 字形截面梁的许用拉应力为50MPa 许用压应力为200MPa 则上下边缘距中性轴的合理比值是多少 P y1 y2 答 y1 y2 4 1 76 弯曲的应力分析和强度计算 本章小结 弯曲梁内力计算截面法求剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程的建立 剪力图和弯矩图的画法 载荷集度 剪力 弯矩间的微分关系及其在画剪力图和弯矩图中的应用 dM x Q x dx dM x q x 2dx 2 用叠加法作剪力图和弯矩图 77 弯曲的应力分析和强度计算 纯弯曲梁横截面上的正应力 M EIxz 1 M yIZ max M WZ 矩形截面梁的弯曲切应力 QS Izb z max 3Q 1 5 平均2bh 梁弯曲时正应力强度条件 max M max Wz 78 弯曲的应力分析和强度计算 弯曲切应力强度条件 max QS max Izb z 提高粱的强度 从以下四个方面考虑 合理地安排梁的支座和载荷 采用合理的截面形状 采用等强度梁合理地使用材料 79 弯曲的应力分析和强度计算 1 已知F M q a 试画出梁的剪力图和弯矩图 2 已知图示外伸梁 q 6kN mF 30kN 170MPa 截面为22a工字钢 试利用正应力强度条件校核梁的强度 q F 80