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二 一般形式的柯西不等式 名称形式等号成立条件三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3R，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2当且仅当b1b2b30或存在一个实数k使得aikbi(i1,2,3)一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2，n)点睛一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式利用柯西不等式证明不等式例1设x1，x2，xn都是正数，求证：.思路点拨根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明证明(x1x2xn)(1)2()2()22n2，.柯西不等式的结构特征可以记为：(a1a2an)(b1b2bn)()2.其中ai，biR(i1,2，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键1设a，b，c为正数，且不全相等求证：.证明：构造两组数，；，则由柯西不等式得(abbcca)(111)2，即2(abc)9，于是.由柯西不等式知，中有等号成立abbccaabc.因为a，b，c不全相等，故中等号不成立，于是.利用柯西不等式求最值例2(1)已知x，y，zR，且xyz1.求 的最小值；(2)设2x3y5z29，求函数的最大值思路点拨(1)利用(xyz)(2)利用()2(111)2.解(1)xyz1，(xyz)；2(123)236.当且仅当x，即x，y，z时取等号所以的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(111)2(2x1)(3y4)(5z6)(111)3(2x3y5z11)340120.故2，当且仅当2x13y45z6，即x，y，z时等号成立此时max2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件2已知x，y，zR，且x2y2z5，则(x5)2(y1)2(z3)2的最小值是()A20B25C36 D47解析：选C(x5)2(y1)2(z3)212(2)222(x5)(2)(y1)2(z3)2324，当且仅当，即x3，y3，z1时取等号故(x5)2(y1)2(z3)2的最小值是36.3若2x3y4z11，则x2y2z2的最小值为_解析：2x3y4z11，由柯西不等式，得(x2y2z2)(4916)(2x3y4z)2，故x2y2z2，当且仅当，即x，y，z时取等号答案：4把一根长为12 m的细绳截成三段，各围成三个正方形问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则xyz12，三个正方形的边长分别为，均为正数，三个正方形面积之和：S222(x2y2z2)(121212)(x2y2z2)(xyz)2122，即x2y2z248.从而S483.当且仅当时取等号，又xyz12，xyz4时，Smin3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m2.1已知a2b2c2d25，则abbccdad的最小值为()A5 B5C25 D25解析：选B(abbccdad)2(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)25，当且仅当abcd时，等号成立abbccdbd的最小值为5.2已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2C3 D4解析：选A(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，当且仅当1时取等号a1x1a2x2anxn的最大值是1.3已知x，y，zR，且1，则x的最小值是()A5 B6C8 D9解析：选Dx 29，当且仅当时等号成立4设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则()A. B.C. D.解析：选C由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，当且仅当时取等号，因此有.5已知2x3yz8，则x2y2z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)_.解析：由柯西不等式(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2，即x2y2z2.当且仅当z时等号成立又2x3yz8，解得x，y，z，故所求点为.答案：6设a，b，c为正数，则(abc)的最小值是_解析：(abc)()2()2()22(236)2121.当且仅当k(k为正实数)时，等号成立答案：1217已知实数x，y，z满足3x2yz1，则x22y23z2的最小值为_解析：由柯西不等式，得x2(y)2(z)2(3x2yz)21，所以x22y23z2，当且仅当，即x，y，z时，等号成立，所以x22y23z2的最小值为.答案：8在ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2b2c2)36R2.证明：2R，(a2b2c2)236R2.9在直线5x3y2上求一点，使(x2y1)2(3xy3)2取得最小值解：由柯西不等式得(2212)(x2y1)2(3xy3)22(x2y1)(3xy3)2(5x3y1)29.(x2y1)2(3xy3)2.当且仅当x2y12(3xy3)即5x4y70时取等号解方程组得故所求点的坐标为.10已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，c为正实数，且m，求证：a2b3c9.解：(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm，又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1，所以a2b3c(a2b3c)29.
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