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第一章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1dx等于(B)A2ln2B2ln2Cln2 Dln2解析因为(2lnx)，所以 dx2lnx|2ln42ln22ln22曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为(B)Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5解析点(1，1)在曲线上，y3x26x，y|x13，即切线斜率为3利用点斜式得，切线方程为y13(x1)，即y3x2故选B3(2018全国卷文，6)设函数f(x)x3(a1)x2ax若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为(D)Ay2x ByxCy2x Dyx解析 f(x)x3(a1)x2ax， f(x)3x22(a1)xa又f(x)为奇函数， f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立， a1， f(x)3x21， f(0)1， 曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx故选D4(2018青岛高二检测)下列函数中，x0是其极值点的函数是(B)Af(x)x3 Bf(x)cosxCf(x)sinxx Df(x)解析对于A，f (x)3x20恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f (x)sinx，当x(，0)时，f (x)0，故f(x)cosx在x0的左侧区间(，0)内单调递减，在其右侧区间(0，)内单调递增，所以x0是f(x)的一个极小值点；对于C，f (x)cosx10恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)在x0没有定义，所以x0不可能成为极值点，综上可知，答案选B5已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a(D)A2B3C4D5解析f (x)3x22ax3，由条件知，x3是方程f (x)0的实数根，a56(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是(D)解析观察导函数f(x)的图象可知，f(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知，排除A，C如图所示，f(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20，故选项D确，故选D7若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于(D)A2B3C6D9解析f (x)12x22ax2b，又因为在x1处有极值，ab6，a0，b0，ab()29，当且仅当ab3时取等号，所以ab的最大值等于9故选D8函数f(x)ax3ax22ax1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是(D)Aa BaCa Da解析f (x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)0，即(a1)(a1)0，解得a故选D9(2018沈阳一模)设函数f(x)xex1，则(D)Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析由于f(x)xex，可得f(x)(x1)ex，令f(x)(x1)ex0可得x1，令f(x)(x1)ex0可得x1，即函数在(1，)上是增函数令f(x)(x1)ex0可得x1，即函数在(，1)上是减函数所以x1为f(x)的极小值点故选D10(2017全国卷理，11)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值是(A)A1 B2e3 C5e3 D1解析函数f(x)(x2ax1)ex1则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函数f(x)的极值点得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立，得x2或x1时，f(x)0，且x0；2x1时，f(x)1时，f(x)0所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1故选A11已知函数f(x)xlnx，g(x)x3x25，若对任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)2成立，则a的取值范围是(B)A(0，) B1，)C(，0) D(，1解析由于g(x)x3x25g(x)3x22xx(3x2)，函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，g5，g(2)8451由于对x1，x2，f(x1)g(x2)2恒成立，f(x)g(x)2max，即x时，f(x)1恒成立，即xlnx1，在上恒成立，axx2lnx在上恒成立，令h(x)xx2lnx，则h(x)12xlnxx，而h(x)32lnx，x时，h(x)0，x1,2时，h(x)0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a若a0，则f(x)的零点不唯一故选C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13(2017南开区二模)已知f(x)x(2016lnx)，f(x0)2017，则x01_解析f(x)2016lnx12017lnx又f(x0)2017，f(x0)2017lnx02017，则lnx00，x0114(2018海淀区校级期末)已知函数f(x)x22lnx，则f(x)的最小值为1解析函数的定义域(0，)f(x)2x2令f(x)0x1; f(x)00x1所以函数在(0,1单调递减，在1，)单调递增所以函数在x1时取得最小值，f(x)minf(1)1故答案为115如图阴影部分是由曲线y、y2x与直线x2、y0围成，则其面积为ln2解析由，得交点A(1,1)由得交点B故所求面积Sdxdxxlnxln216(2018玉溪模拟)已知函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表，f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，给出关于f(x)的下列命题：x10245f(x)12021函数yf(x)在x2取到极小值；函数f(x)在0,1是减函数，在1,2是增函数；当1a2时，函数yf(x)a有4个零点；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最小值为0其中所有正确命题是(写出正确命题的序号)解析由图象可知当1x0,2x4时，f(x)0，此时函数单调递增，当0x2,4x5时，f(x)0，此时函数单调递减，所以当x0或x4时，函数取得极大值，当x2时，函数取得极小值所以正确函数在0,2上单调递减，所以错误因为x0或x4时，函数取得极大值，当x2时，函数取得极小值所以f(0)2，f(4)2，f(2)0，因为f(1)f(5)1，所以由函数图象可知当1a2时，函数yf(x)a有4个零点；正确因为函数在1,0上单调递增，且函数的最大值为2，所以要使当x1，t时，f(x)的最大值是2，则t0即可，所以t的最小值为0，所以正确故答案为三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)(2018赣州二模)设函数f(x)(x1)2alnx有两个极值点x1，x2，且x1x2求实数a的取值范围解析(1)因为f(x)(x1)2alnx，f(x)2(x1)，(x0)即f(x)，令g(x)2x22xa，(x0)则(x1x2)是方程2x22xa0的两个正实根则，得0a0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上 的最大值为，求a的值解析函数f(x)的定义域为(0,2)，f (x)a，(1)当a1时，f (x)，当x(0，)时，f (x)0，当x(，2)时，f (x)0，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a19(本题满分12分)在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，试求切点A的坐标及过切点A的切线方程解析如图所示，设切点A(x0，y0)，过切点A的切线与x轴的交点为C由y2x知A点处的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0xx令y0，得x，即C(，0)设由曲线yx2(x0)与过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，则SS曲边AOBSABCS曲边AOBx00x2dxx3|x00x，SABCBCAB(x0)xx，Sxxx，x01，切点A的坐标为(1,1)，即过切点A的切线方程为2xy1020(本题满分12分)(2018和平区三模)设函数f(x)lnx ax2bx(1)当ab时，求函数f(x)的最大值；(2)令F(x)f(x)x2bx(0x3)，若其图象上的任意点P(x0，y0)处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围解析(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，)，当ab时，f(x)lnxx2x，f(x)x令f(x)0，解得x1(x0)因为g(x)0有唯一解，所以g(x2)0，当0x1时，f(x)0，此时f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减所以f(x)的极大值为f(1)，此即为最大值(2)F(x)lnx，x(0,3，则有kF(x0)，在x0(0,3上恒成立，所以a(xx0)max，x0(0,3，当x01时，xx0取得最大值，所以a21(本题满分12分)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系：P(其中c为小于6的正常数)(注：次品率次品数/生产量，如P01表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)已知每生产1万件合格的仪器可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？解析(1)当xc时，P，所以Tx2x10当1xc时，P，所以T(1)x2()x1综上，日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为：T(2)由(1)知，当xc时，每天的盈利额为0，当1xc时，T，令T0，解得x3或x9因为1xc，c6，所以()当3c6时，Tmax3，此时x3()当1c3时，由T知函数T在1,3上递增，所以Tmax，此时xc综上，若3c6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；若1c3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润22(本题满分14分)(2018全国卷理，21)已知函数f(x)xaln x(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：a2解析(1)解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)1若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递减若a2，令f(x)0，得x或x当x时，f(x)0；当x时，f(x)0所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x1x2，则x21由于1a2a2a，所以a2等价于x22ln x20设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0所以x22ln x20，即a2
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