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12.2全称量词和存在量词读教材填要点1全称量词与存在量词(1)全称量词：“任意、“所有”、“每一个”等叫作全称量词，数学上用符号“”表示(2)存在量词：“存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符号“”表示2含有“全称量词”或“存在量词”的命题的否定(1)命题“xI, p(x)”的否定是“xI，綈p(x)”；(2)命题“xI，p(x)”的否定是“xI，綈p(x)”小问题大思维1命题p：任何一个实数除以1等于这个数；q：等边三角形的三边都相等它们各使用了什么量词？提示：命题p使用了全称量词“任何一个”，“等边三角形的三边相等”是指“任意一个等边三角形的三边都相等”，命题q使用了全称量词“任意”2下列命题使用了什么量词？p：存在实数x，使x230；q：有的实数既不是质数也不是合数提示：命题p使用存在量词“存在”，命题q使用存在量词“有的”3如何用符号表示下列命题？(1)对任意实数，有sin2cos21；(2)存在实数x，使得2.提示：(1)用符号表示为“R，sin2cos21”(2)用符号表示为“xR，2”用“”或“”表述命题 将下列命题用量词符号“”或“”表示，并判断真假(1)实数的平方是非负数；(2)整数中1最小；(3)方程ax22x10(a1)至少存在一个负根；(4)对于某些实数x，有2x10.自主解答(1)xR，x20；真(2)xZ，x1；假(3)x0，有ax22x10(a1)；真(4)xR，有2x10；真同一个含全称量词或存在量词的命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：命题含全称量词的命题“xA，p(x)”含存在量词的命题“xA，p(x)”表述方法所有的xA，p(x)成立对一切xA，p(x) 成立对每一个xA，p(x)成立任意一个xA，p(x)成立凡xA，都有p(x)成立使p(x)成立存在xA，至少有一个xA，使p(x)成立对有些xA，p(x)成立对某个xA，p(x)成立有一个xA，使p(x)成立1用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)不等式x2x10恒成立；(2)当x为有理数时，x2x1也是有理数；(3)等式sin()sin sin 对有些角，成立；(4)方程3x2y10有整数解解：(1)对任意实数x，不等式x2x10成立(2)对任意有理数x，x2x1是有理数(3)存在角，使sin()sin sin 成立(4)存在一对整数x，y，使3x2y10成立含全称量词或存在量词的命题的真假判断 (1)下列命题中的假命题是()AxR，lg x0BxR，tan x1CxR，x20DxR，ex0(2)下列命题中的真命题是()AR，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数B，R，使cos()cos cos C向量a(2,1)，b(1,0)，则a在b方向上的投影为2D“|x|1”是“x1”的既不充分又不必要条件自主解答(1)对于A，x1时，lg x0；对于B，xk(kZ)时，tan x1；对于C，当x0时，x20，所以C中命题为假命题；对于D，ex0恒成立(2)对于A，当时，f(x)cos 2x，为偶函数，故A为假命题；对于B，令，则cos()cos，cos cos 0，cos()cos cos 成立，故B为真命题；对于C，向量a(2,1)，b(1,0)，则a在b方向上的投影为2，故C为假命题；对于D，|x|1，即1x1，故充分性成立，若x1，则|x|1不一定成立，所以“|x|1”为“x1”的充分不必要条件，故D为假命题答案(1)C(2)B全称命题与特称命题的真假判断的技巧(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题2判断下列命题是含全称量词还是存在量词，并判断其真假(1)一次函数都是单调函数；(2)至少有一个实数x，使x20；(3)xZ，log4x0；(4)xx|x是无理数，x4是无理数解：(1)命题中含有全称量词“都”，命题为真命题(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，当x0时，x20，命题为真命题(3)命题中含有存在量词的符号“”，当x4时，log4x10，命题为真命题(4)命题中含有全称量词的符号“”，由于x时x44是有理数因此命题是假命题含有量词的命题的否定 (1)设命题p：nN，n22n，则綈p为()AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n(2)(2016浙江高考)命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2自主解答(1)因为“xM，p(x)”的否定是“xM，綈p(x)”，所以命题“nN，n22n”的否定是“nN，n22n”，故选C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“xR，nN*，使得nx2”的否定形式为“xR，nN*，使得nx2”答案(1)C(2)D(1)“xM，p(x)”的否定为“xM，綈p(x)”(2)有些命题省略了全称量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”(3)命题“xM，p(x)”的否定为“xM，綈p(x)”(4)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”例如：三角形存在外接圆这个命题中的量词“所有的”被省略了，所以这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆3写出下列命题的否定并判断其真假(1)p：不论m取何实数，方程x2mx10必有实数根；(2)p：有些三角形的三条边相等；(3)p：余弦值为负数的角是钝角；(4)p：存在一个实数，使得3x0恒成立，故为假命题(2)由于存在量词“有些”的否定的表述为“所有，”因此，原命题的否定为：“所有三角形的三条边不全相等”，假命题(3)原命题的否定为：“有的余弦值为负数的角不是钝角”，真命题(4)原命题的否定为“对于所有实数x，都满足3x0”，真命题.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路判断下列命题的真假(1)xR，x22x10；(2)xR，|x|0；(3)xN，log2x0；(4)xR，cos x.巧思根据命题中所含量词的含义，可举特例判断妙解(1)当x1时，x22x10，原命题是假命题(2)当x0时，|x|0成立，原命题是真命题(3)当x1时，log2x0，原命题是假命题(4)当xR时，cos x1,1，而1，不存在xR，使cos x.原命题是假命题1下列命题不是“xR，x23”的表述方法是()A有一个xR，使得x23B对有些xR，使得x23C任选一个xR，使得x23D至少有一个xR，使得x23解析：选项C是全称命题答案：C2下列命题中的假命题是()AxR，lg x0BxR，cos x1CxR，x30DxR,2x0解析：选项A，lg x0x1；选项B，cos x1x2k(kZ)；选项C；x30x0；选项D,2x0xR.答案：C3设命题p：nN，n22n，则綈p为()AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n解析：因为“xM，p(x)”的否定是“xM，綈p(x)”，所以命题“nN，n22n”的否定是“nN，n22n”，故选C.答案：C4命题“至少有一个正实数x满足方程x22(a1)x2a60”的否定是_解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定答案：所有正实数x都不满足方程x22(a1)x2a605给出下列命题xR，x220；xN，x41；xZ，x31.其中是真命题的是_(把所有真命题的序号都填上)解析：由于xR，都有x20，因而有x2220，即x220.所以命题“xR，x220”是真命题由于0N，当x0时，x41不成立所以命题“xN，x41”是假命题由于1Z，当x1时，x31成立所以命题“xZ，x31”是真命题答案：6写出下列命题的否定，并判断真假(1)非负数的平方是正数(2)有的四边形没有外接圆解：(1)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”因为020，不是正数，所以该命题是真命题(2)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.一、选择题1命题“存在xR,2x0”的否定是()A不存在xR,2x0B存在xR,2x0C对任意的xR,2x0D对任意的xR,2x0解析：由含有存在量词的命题否定可知，命题“存在xR,2x0”的否定是“对任意的xR,2x0”答案：D2命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A所有不能被2整除的整数都是偶数B所有能被2整除的整数都不是偶数C存在一个不能被2整除的整数是偶数D存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.答案：D3若存在xR，使ax22xa0是真命题，则实数a的取值范围是()A(，1)B(，1C(1,1)D(1,1解析：当a0时，显然存在xR，使ax22xa0时，必需44a20，解得1a1，故0a1.综上所述，实数a的取值范围是(，1)答案：A4下列四个命题：p1：x(0，)，x logx；p3：x(0，)，xlogx；p4：x，xx成立，所以p1是假命题，排除A、B，对于命题p3，在同一平面直角坐标系中作出函数yx与函数ylogx的图象(图略)，可知在(0，)上，函数yx的图象并不是始终在函数ylogx的图象上方，所以p3是假命题，排除C.答案：D二、填空题5命题“有些负数满足不等式(1x)(19x)0”用“”或“”可表述为_解析：命题“有些负数满足不等式(1x)(19x)0”为特称命题，用“”表示为：x0.答案：x06命题“零向量与任意向量共线”的否定为：_.解析：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，其否定为“有的向量与零向量不共线”答案：有的向量与零向量不共线7下列命题是真命题的有_(1)x1,3,5,5x2是奇数；(2)xR，x26x50；(3)xR，|x1|0.解析：(1)5127,53217，55227，均为奇数，是真命题(2)x26x50中，3620560，方程有两个不相等的实根，是真命题(3)x1时，|11|0，是假命题答案：(1)(2)8若命题“xR，ax2ax20”是假命题，则a的取值范围是_解析：“xR，ax2ax20”是假命题，则“xR，ax2ax20”是真命题，当a0时，20.符合题意当a0时，要满足xR，ax2ax20，需有即解得8a0，使函数f(x)ax24x在(，2上单调递减”，命题q：“存在aR，使xR,16x216(a1)x10”若命题“pq”为真命题，求实数a的取值范围解：若p为真，则对称轴x在区间(，2的右侧，即2，0a1.若q为真，则方程16x216(a1)x10无实数根16(a1)24160，a.命题“pq”为真命题，命题p，q都为真，a1.故实数a的取值范围为.
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