《简单的线性规划问题》学案.ppt

简单的线性规划问题 一 线性规划在实际中的应用 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用 一是在人力 物力 资金等资源一定的条件下 如何使用它们来完成最多的任务 二是给定一项任务 如何合理安排和规划 能以最少的人力 物力 资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用 例5 营养学家指出 成人良好的日常饮食应该至少提供0 075kg的碳水化合物 0 06kg的蛋白质 0 06kg的脂肪 1kg食物A含有0 105kg碳水化合物 0 07kg蛋白质 0 14kg脂肪 花费28元 而1食物B含有0 105kg碳水化合物 0 14kg蛋白质 0 07kg脂肪 花费21元 为了满足营养专家指出的日常饮食要求 同时使花费最低 需要同时食用食物A和食物B多少kg 分析 将已知数据列成表格 二 例题 解 设每天食用xkg食物A ykg食物B 总成本为z那么 目标函数为 z 28x 21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 把目标函数z 28x 21y变形为 x y o 5 7 5 7 6 7 3 7 3 7 6 7 它表示斜率为随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距 当截距最小时 z的值最小 M 如图可见 当直线z 28x 21y经过可行域上的点M时 截距最小 即z最小 M点是两条直线的交点 解方程组 得M点的坐标为 所以zmin 28x 21y 16 由此可知 每天食用食物A143g 食物B约571g 能够满足日常饮食要求 又使花费最低 最低成本为16元 例6 某人准备投资1200万元兴办一所完全中学 对教育市场进行调查后 他得到了下面的数据表格 以班级为单位 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件 若根据有关部门的规定 初中每人每年可收学费1600元 高中每人每年可收学费2700元 那么开设初中班和高中班多少个 每年收费的学费总额最多 把上面四个不等式合在一起 得到 y x 20 30 40 20 30 o 另外 开设的班级不能为负 则x 0 y 0 而由于资金限制 26x 54y 2 2x 2 3y 1200 解 设开设初中班x个 高中班y个 因办学规模以20 30个班为宜 所以 20 x y 30 y x 20 30 40 20 30 o 由图可以看出 当直线Z 7 2x 10 8y经过可行域上的点M时 截距最大 即Z最大 设收取的学费总额为Z万元 则目标函数Z 0 16 45x 0 27 40y 7 2x 10 8y Z 7 2x 10 8y变形为它表示斜率为的直线系 Z与这条直线的截距有关 M 易求得M 20 10 则Zmax 7 2x 10 8y 252 故开设20个初中班和10个高中班 收取的学费最多 为252万元 例7 一个化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 硝酸盐18t 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 硝酸盐15t 现库存磷酸盐10t 硝酸盐66t 在此基础上生产这两种混合肥料 列出满足生产条件的数学关系式 并画出相应的平面区域 并计算生产甲 乙两种肥料各多少车皮 能够产生最大的利润 解 设x y分别为计划生产甲 乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件 x y o 解 设生产甲种肥料x车皮 乙种肥料y车皮 能够产生利润Z万元 目标函数为Z x 0 5y 可行域如图 把Z x 0 5y变形为y 2x 2z 它表示斜率为 2 在y轴上的截距为2z的一组直线系 x y o 由图可以看出 当直线经过可行域上的点M时 截距2z最大 即z最大 故生产甲种 乙种肥料各2车皮 能够产生最大利润 最大利润为3万元 M 容易求得M点的坐标为 2 2 则Zmin 3 三 练习题 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 每件销售收入分别为3000元 2000元 甲 乙产品都需要在A B两种设备上加工 在每台A B上加工1件甲所需工时分别为1h 2h A B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h 如何安排生产可使收入最大 设每月生产甲产品x件 生产乙产品y件 每月收入为z 目标函数为Z 3x 2y 满足的条件是 Z 3x 2y变形为它表示斜率为的直线系 Z与这条直线的截距有关 x y O 400 200 250 500 当直线经过点M时 截距最大 Z最大 M 解方程组 可得M 200 100 Z的最大值Z 3x 2y 800 故生产甲产品200件 乙产品100件 收入最大 为80万元 四 课时小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路 1 应准确建立数学模型 即根据题意找出约束条件 确定线性目标函数 2 用图解法求得数学模型的解 即画出可行域 在可行域内求得使目标函数取得最值的解 一般最优解在直线或直线的交点上 要注意斜率的比较 3 要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解 即结合实际情况求得最优解