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章末综合测评(三) 导数及其应用(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若函数f(x)2cos x，则f()等于()Asin Bcos C2sin D2sin Af(x)(2cos x)sin x，当x时，f()sin .2若曲线y在点P处的切线斜率为4，则点P的坐标是()A. B.或C. D.By，由4，得x2，从而x，分别代入y，得P点的坐标为，2或，2.3已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a() 【导学号：97792179】A4 B2C4 D2Df(x)3x212，由f(x)0得x2，当x(，2)时，f(x)0，函数f(x)递增；当x(2，2)时，f(x)0，函数递增，所以a2.4函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)Df(x)ex(x3)ex(x2)ex.由f(x)0，得x2，故选D.5过点(0,1)且与曲线y在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为()A2xy10 Bx2y20Cx2y20 D2xy10Dy，y|x3，故与切线垂直的直线斜率为2，所求直线方程为y12x，即2xy10.故选D.6对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)D若f(x)不恒为0，则当x1时，f(x)0，当xf(1)，f(1)2f(1)若f(x)0恒成立，则f(2)f(0)f(1)，综合，知f(0)f(2)2f(1)7函数y的最大值为()Ae1BeCe2D.Ay，令y0，得xe.当xe时，y0；当0x0.故y极大值f(e)e1.因为在定义域内只有一个极值，所以ymaxe1.8如图1，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导数f(x)的图象，则f(1)的值为()图1A. BC. D或Bf(x)x22axa21，其图象为开口向上的抛物线，故不是图，图中，a0，f(x)x21，与已知矛盾；故f(x)的图象为图，f(0)0，a1，又其对称轴在y轴右边，故a1，f(x)x3x21，f(1).9以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A10 B15C25 D50C设内接矩形的长为x，则宽为，S2x2y，y50xx3.令y0，得x250或x0(舍去)，S625，即Smax25.10对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0或a7Ca21 Da0或a21Af(x)3x22ax7a，当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数不存在极值点11已知函数yf(x)在定义域内可导，其图象如图2所示记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式xf(x)0的解集为 () 【导学号：97792180】图2A.0,12,3)B.1,2C.2,3)D.A对于不等式xf(x)0，当x0时，f(x)0，则结合图象，知原不等式的解集为，；当0x3时，f(x)0，则结合图象，知原不等式的解集为0,12,3)综上，原不等式的解集为0,12,3)12f(x)是定义在(0，)上的可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(b)f(b) Dbf(b)f(a)A由xf(x)f(x)0得0，则函数y在(0，)上是减函数，由0a即af(b)0)的单调减区间是(0,4)，则k的值是_f(x)3kx26(k1)x，令f(x)0得x0或x，由题意知4，解得k.16已知函数f(x)x3ax在区间(1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是_3，)f(x)3x2a，由题意知f(x)0在x(1,1)时恒成立，即a3x2在x(1,1)时恒成立，又x(1,1)时，3x23，则a3.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(1)已知曲线f(x)在x4处的切线方程为5x16yb0，求实数a与b的值(2)直线l：yxa(a0)和曲线C：yx3x21相切，求实数a的值. 【导学号：97792181】解(1)f(x)，由题意知f(4)，解得a1，f(x)，f(4).即切点为.在切线5x16yb0上，5416b0，即b8，从而a1，b8.(2)设直线l和曲线C相切于点P(x0，y0)，由y3x22x得y|xx03x2x0，由题意知3x2x01，解得x0或x01，于是切点的坐标为或(1,1)当切点为时，a，即a.当切点为(1,1)时，11a，即a0(舍去)实数a的值为.18(本小题满分12分)已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解(1)对f(x)求导得f(x)，由yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)可知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因x1不在f(x)的定义域(0，)内，舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)上为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5，无极大值19(本小题满分12分)设函数yf(x)4x3ax2bx5在x与x1处有极值(1)写出函数的解析式(2)指出函数的单调区间(3)求f(x)在1,2上的最值解(1)y12x22axb，由题设知当x与x1时函数有极值，则x与x1满足y0，即解得所以y4x33x218x5.(2)y12x26x186(x1)(2x3)，列表如下：x(，1)1y00yy极大值16y极小值由上表可知(，1)和为函数的单调递增区间，为函数的单调递减区间(3)因为f(1)16，f，f(2)11，所以f(x)在1,2上的最小值是，最大值为16.20(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2bx1(a0，bR)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a；(3)若f(x)，f(x)这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围解(1)由f(x)x3ax2bx1，得f(x)3x22axb32b.当x时，f(x)有极小值b.因为f(x)的极值点是f(x)的零点，所以f10.又a0，故b.因为f(x)有极值，故f(x)0有实根，从而b(27a3)0，即a3.当a3时，f(x)0(x1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；当a3时，f(x)0有两个相异的实根x1，x2.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)的极值点是x1，x2.从而a3.因此b，定义域为(3，)(2)证明：由(1)知，.设g(t)，则g(t).当t时，g(t)0，从而g(t)在上单调递增因为a3，所以a3，故g(a)g(3)，即.因此b23a.(3)由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1x2a，xx.从而f(x1)f(x2)xaxbx11xaxbx21(3x2ax1b)(3x2ax2b)a(xx)b(x1x2)220.记f(x)，f(x)所有极值之和为h(a)，因为f(x)的极值为ba2，所以h(a)a2，a3.因为h(a)a0，于是h(a)在(3，)上单调递减因为h(6)，于是h(a)h(6)，故a6.因此a的取值范围为(3,621(本小题满分12分)若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数的解析式(2)若方程f(x)k有3个不同的根，求实数k的取值范围解(1)f(x)3ax2b，由题意知即，解得故f(x)x34x4.(2)由(1)可得f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2时，f(x)有极小值，所以函数f(x)x34x4的图象大致如图所示若f(x)k有3个不同的根，则直线yk与函数f(x)的图象有3个交点，所以k.22(本小题满分12分)设函数f(x)x2ex1ax3bx2，已知x2或x1为f(x)的极值点. 【导学号：97792182】(1)求a和b的值；(2)设g(x)x3x2，试比较f(x)与g(x)的大小解(1)f(x)2xex1x2ex13ax22bxxex1(x2)x(3ax2b)由x2和x1为f(x)的极值点，得，即，解得.(2)由(1)得，f(x)x2ex1x3x2，故f(x)g(x)x2ex1x3x2x3x2x2(ex1x)令h(x)ex1x，则h(x)ex11.令h(x)0，得x1.h(x)，h(x)随x的变化情况如下表：x(，1)1(1，)h(x)0h(x)0由上表，可知当x1时，h(x)取得极小值，也是最小值，即当xR时，h(x)h(1)，也就是恒有h(x)0.又x20，所以f(x)g(x)0，故对任意xR，恒有f(x)g(x)
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