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2.3.1 双曲线的标准方程基础达标1双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，那么k的值是_解析：焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程是1，k0，b0)由题意，得B(2,0)，C(2,3)，解得，双曲线的标准方程为x21.答案：x214设P为双曲线x21上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若PF1PF232，则PF1F2的面积为_解析：双曲线的a1，b2，c.设PF13r，PF22r.PF1PF22a2，r2.于是PF16，PF24.PFPF52F1F，故知PF1F2是直角三角形，F1PF290.SPF1F2PF1PF26412.答案：125已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则PF1PF2的值为_解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1PF2，所以(2)2PFPF，又因为PF1PF22，所以(PF1PF2)24，可得2PF1PF24，则(PF1PF2)2PFPF 2PF1PF212，所以PF1PF22.答案：26已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为_解析：设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知PF2aPF14PF1，PFPA4PF1PA.当PFPA最小时需满足PF1PA最小由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足PF1PA最小，易求得最小值为AF15，故所求最小值为9.答案：97在ABC中，已知AB4，且2sin Asin C2sin B，求顶点C的轨迹方程解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(2，0)，B(2，0)，由正弦定理得sin A，sin B，sin C(a，b，c分别为A，B，C所对的边)，2sin Asin C2sin B，2ac2b，即ba，从而有CACBAB2)8已知P为椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，F1PF260，求F1PF2的面积解：在PF1F2中，F1FPFPF2PF1PF2cos 60，即25PFPFPF1PF2，由椭圆的定义得10PF1PF2，即100PFPF2PF1PF2，所以PF1PF225，所以SF1PF2PF1PF2sin 60.能力提升1若椭圆1(mn0)和双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值是_解析：PF1PF22，|PF1PF2|2a，所以PFPF2PF1PF24m，PF2PF1PF2PF4a2，两式相减得：4PF1PF24m4a2，PF1PF2ma2.答案：ma22已知双曲线的方程是1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，另一个焦点为F2，点N是PF1的中点，则ON的大小(O为坐标原点)为_解析：连结ON(图略)，ON是三角形PF1F2的中位线，所以ONPF2，因为|PF1PF2|8，PF110，所以PF22或18，所以ONPF21或9.答案：1或93已知在周长为48的RtMPN中，MPN90，tan PMN，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程解：由RtMPN的周长为48，且tan PMN，设PN3k，PM4k，则MN5k,3k4k5k48，得k4，则PN12，PM16，MN20.以MN所在直线为x轴，以线段MN的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，由PMPN42a，得a2，a24，由MN20得2c20，c10，则b2c2a296，所以所求双曲线方程为1.4在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA100 km，PB150 km，BC60 km，APB60，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程解：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA，PB送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹设M为界线上的任意一点，则有PAMAPBMB，即MAMBPBPA50(定值)界线为以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分如图所示以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，a25，2cAB50，c25，b2c2a23 750，双曲线方程为1，因为C的坐标为(25，60)，所以y的最大值为60，此时x35.因此界线的曲线方程为1(25x35，y0)
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