高等数学上3.7平面曲线的曲率.ppt

第七节 曲线的弯曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 主要内容 一 弧微分 二 曲率及其计算公式 三 曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三章 一 弧微分 设 在 a b 内有连续导数 其图形为AB 弧长 则弧长微分公式为 或 几何意义 若曲线由参数方程表示 二 曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质 弯曲程度 的量 弧段弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段越短弯曲程度越大 1 曲率的定义 弧段弯曲程度与有关 转角 弧段长度 设曲线C是光滑的 定义 曲线C在点M处的曲率 2 曲率的计算公式 注意 1 直线的曲率处处为零 2 圆上各点处的曲率等于半径的倒数 且半径越小曲率越大 课本P170 例1 P171 2 解 显然 三 曲率圆与曲率半径 定义 1 有共同的切线 亦即圆与曲线在点M处相切 曲率圆与曲线在点M处有以下关系 2 有相同的曲率 3 因此 圆和曲线在点M处一阶导数相同 二阶导数同号 例2 解 如图 受力分析 视飞行员在点o作匀速圆周运动 O点处抛物线轨道的曲率半径 得曲率为 曲率半径为 即 飞行员对座椅的压力为641 5千克力 运用微分学的理论 研究曲线和曲面的性质的数学分支 微分几何学 小结 1 弧长微分 或 2 曲率公式 3 曲率圆 曲率半径 思考题 椭圆上哪些点处曲率最大 思考题解答 要使最大 必有最小 此时最大 补充 参数方程曲率公式 作业 P177 2 5 8 选讲 曲率圆与曲率半径 设M为曲线C上任一点 在点 在曲线 把以D为中心 R为半径的圆叫做曲线在点M处的 曲率圆 密切圆 R叫做曲率半径 D叫做 曲率中心 在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系 1 有公切线 2 凹向一致 3 曲率相同 M处作曲线的切线和法线 的凹向一侧法线上取点D使 设曲线方程为 且 求曲线上点M处的 曲率半径及曲率中心 设点M处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 满足方程组 的坐标公式 由此可得曲率中心公式 当点M x y 沿曲线 移动时 的轨迹G称为曲线C的渐屈线 相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐 曲线C称为曲线G的渐伸线 屈线的参数方程 参数为x 点击图中任意点动画开始或暂停 例4 设一工件内表面的截痕为一椭圆 现要用砂轮磨 削其内表面 问选择多大的砂轮比较合适 解 设椭圆方程为 由例3可知 椭圆在 处曲率最大 即曲率半径最小 且为 显然 砂轮半径不超过 时 才不会产生过量磨损 或有的地方磨不到的问题 仍为摆线 例5 求摆线 的渐屈线方程 解 代入曲率中心公式 得 摆线 半径为a的圆周沿直线无滑动地滚动时 点击图中任意点动画开始或暂停 其上定点M 的轨迹即为摆线 参数的几何意义 摆线的渐屈线 点击图中任意点动画开始或暂停 内容小结 曲率中心 例2 证 如图 在缓冲段上 实际要求