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3.2.3指数函数与对数函数的关系【选题明细表】知识点、方法题号求反函数(或反函数值)1,3,4,5,6,7指数函数与对数函数关系2,8反函数的应用9,101.设f(x)=3x+9,则f-1(x)的定义域是(B)(A)(0,+) (B)(9,+)(C)(10,+) (D)(-,+)解析:因为f(x)=3x+99,所以反函数的定义域为(9,+),故选B.2.设a=,b=,c=lox,若x1,则a,b,c的大小关系为(C)(A)abc (B)bca(C)cab (D)ba1,所以a=1,所以0ab,而y=lox是减函数,所以c=loxlo1=0.所以ca0,a1)的反函数,其图象过点(,a),则f(x)等于(B)(A)log2x (B)lox (C) (D)x2解析:y=ax的反函数是y=logax,因为图象过点(,a),所以a=loga,所以a=,即f(x)=lox.故选B.4.已知y=f(x)在R上单调递增,且满足f(1)=2,则y=f(x)的反函数的图象恒过点(D)(A)(1,2) (B)(0,2) (C)(2,0) (D)(2,1)解析:由反函数定义可知恒过点(2,1),故选D.5.若函数f(x)的反函数为f-1(x)=x2(x0),则f(4)= .解析:设f(4)=b,则4=f-1(b)=b2且b0,所以b=2.即f(4)=2.答案:26.已知函数f(x)=则f-1=.解析:设f-1=x,则f(x)=.令x2+1=,得x=,因为0x1,所以x=.令2x=,得x=,与-1x0且a1),若f(3)g (3)0且a1)互为反函数,所以它们具有相同的单调性.所以排除A和D.又f(3)g(3)0,g(3)0,所以排除B,选C.9.已知函数f(x)=的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题:(1)h(x)的图象关于原点对称;(2)h(x)为偶函数;(3)h(x)的最小值为0;(4)h(x)在(0,1)上为减函数.其中正确命题的序号为 .(将你认为正确的命题的序号都填上)解析:g(x)=lox,则h(x)=g(1-|x|)=lo(1-|x|)(-1x1),所以h(x)是偶函数,故(1)错,(2)正确.又h(x)=lo(1-|x|)lo1=0,所以(3)正确.因为u=1-|x|在(0,1)上为减函数,h(x)=lou为减函数,所以h(x)在(0,1)上为增函数,(4)错.答案:(2)(3)10.设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,试求a+b 的值.解:(数形结合法)将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.由图可知,a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3交点B的横坐标.由于函数y=2x与y= log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,由题意可得出A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标分别为A(a,b), B(b,a),而A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3,或a=-b+3,故a+b=3.
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