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三立体几何(A)1.(2018辽宁模拟)如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,若PDA=45,(1)求证:MN平面PAD;(2)求证:MN平面PCD.2.(2018乐山二模)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,E为PA的中点,BAD=60.(1)求证:PC平面EBD;(2)求三棱锥PEDC的体积.3.(2018闵行区一模)如图,已知AB是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心,SO=23,AB=4,P是母线SA的中点,C是底面圆周上一点, AOC=60.(1)求圆锥的侧面积;(2)求直线PC与底面所成的角的大小.4.(2018洛阳一模)在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,ABCD,AC=3,AB=2BC=2,ACFB.(1)求证:AC平面FBC;(2)求四面体FBCD的体积;(3)线段AC上是否存在点M,使EA平面FDM?证明你的结论.1.证明:(1)如图,取PD的中点E,连接AE,NE.因为E,N分别为PD,PC的中点,所以EN12CD,又M为AB的中点,ABCD,所以AM12CD,所以ENAM,所以四边形AMNE为平行四边形.所以MNAE,又AE平面PAD,MN平面PAD,所以MN平面PAD.(2)因为PA平面ABCD,PDA=45,所以PAD为等腰直角三角形,又E为PD的中点,所以AEPD,可证得CDPA,又因为CDAD,ADPA=A,所以CD平面PAD,因为AE平面PAD,所以CDAE,又CDPD=D,所以AE平面PCD,又MNAE,所以MN平面PCD.2.(1)证明:设AC与BD相交于点O,连接OE.由题意知,底面ABCD是菱形,则O为AC的中点,又E为AP的中点,所以OECP,因为OE平面BDE,PC平面BDE,所以PC平面BDE.(2)解:因为E为PA的中点,所以SPCE=12SPAC=1212232=3,因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD,又因为PA平面ABCD,所以PABD,又PAAC=A,所以DO平面PAC,即DO是三棱锥DPCE的高,DO=1,则VPCDE=VDPCE=1331=33.3.解:(1)因为AB是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心,SO=23,AB=4,所以底面半径r=AB2=2,母线长l=SA=AO2+SO2=4+12=4,所以圆锥的侧面积S=rl=24=8.(2)过点P作PEAB,交AO于E,由已知得PE圆锥底面,连接CE,则CE为PC在底面上的射影,所以PCE是直线PC与底面所成的角.由于OA=OC,AOC=60,所以CEAO.在RtPEC中,PE=12SO=3,CE=22-12=3.所以PCE=4,所以直线PC与底面所成的角为4.4.(1)证明:在ABC中,因为AC=3,AB=2,BC=1,所以AC2+BC2=AB2.所以ACBC.又因为ACFB,FBBC=B,所以AC平面FBC.(2)解:因为AC平面FBC,所以ACFC.因为CDFC,且CDAC=C,所以FC平面ABCD.在RtACB中,BC=12AB,所以CAB=30,所以在等腰梯形ABCD中可得ABD=CDB=CBD=30,所以CB=DC=1,BCD=120,所以FC=1.所以BCD的面积S=1212sin 120=34.所以四面体FBCD的体积为VFBCD=13SFC=312.(3)解:线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA平面FDM,证明如下:连接CE与DF交于点N,取AC中点M,连接MN,DM,FM.由于平面CDEF为正方形,所以N为CE中点.所以EAMN.因为MN平面FDM,EA平面FDM,所以EA平面FDM.所以线段AC上存在点M,使得EA平面FDM成立.
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