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14统计与统计案例1.从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验,若采用系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是().A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5D.2,4,6,16,32解析间隔距离为10,故可能的编号是3,13,23,33,43,故选B.答案B2.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是().A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92解析这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96,中位数是91+922=91.5,平均数x-=87+89+90+91+92+93+94+968=91.5.答案A3.从300名学生(其中男生180人,女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛,则应该抽取的男生人数为.解析因为男生与女生的比例为180120=32,所以应该抽取的男生人数为5033+2=30.答案304.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得线性回归方程y=0.67x+54.9.零件数x (个)1020304050加工时间y (min)62758189现发现表中有一个数据看不清,请你推断出该数据的值为.解析由x-=30,得y-=0.6730+54.9=75.设表中的模糊数字为a,则62+a+75+81+89=755,a=68.答案68能力1随机抽样的应用【例1】(1)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示:若将运动员按成绩由好到差编号为135,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是().A.3B.4C.5D.6(2)我国古代数学专著九章算术中有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣().A.104人B.108人C.112人D.120人解析(1)由题意知,将135号分成7组,每组5名运动员,成绩落在区间139,151内的运动员共有4组,故由系统抽样法知,共抽取4名.故选B.(2)由题意可知,这是一个分层抽样的问题,其中北乡可抽取的人数为30081008100+7488+6912=300810022500=108,故选B.答案(1)B(2)B1.(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.2.分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽的个体数量:按该层所占总体的比例计算.(2)已知某层个体数量求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.1.将参加夏令营的600名学生按001,002,600进行编号.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区,从001到300在第营区,从301到495在第营区,从496到600在第营区,则三个营区被抽中的人数依次为().A.26,16,8B.25,17,8C.25,16,9D.24,17,9解析由题意及系统抽样的定义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(kN*)组抽中的号码是3+12(k-1).令3+12(k-1)300,得k1034,因此第营区被抽中的人数是25;令3003+12(k-1)495,得10340.5.而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5.所以2x0,故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2020年的年份代号t=10代入(1)中的线性回归方程,得y=0.510+3.3=8.3,故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为8.3千元.能力4独立性检验【例5】微信是现代生活中人们进行信息交流的重要方式,某公司200名员工中90%的人使用微信,其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人,若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段,则使用微信的人中75%是青年人.若规定每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信,则经常使用微信的员工中有23是青年人.(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系,列出22列联表:青年人中年人合计经常使用微信不经常使用微信合计(2)根据22列联表中的数据利用独立性检验的方法判断是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K2k0)0.0100.001k06.63510.828解析(1)由已知可得,该公司员工中使用微信的有20090%=180(人).经常使用微信的有180-60=120(人),其中青年人有12023=80(人),使用微信的人中,青年人有18075%=135(人),故22列联表如下:青年人中年人合计经常使用微信8040120不经常使用微信55560合计13545180(2)将列联表中数据代入公式可得K2的观测值k=180(805-5540)2120601354513.333.由于13.33310.828,所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”.1.比较两个分类变量有关联的可能性大小的方法:(1)通过计算K2的大小判断:K2越大,两变量有关联的可能性越大.(2)通过计算|ad-bc|的大小判断:|ad-bc|越大,两变量有关联的可能性越大.2.独立性检验的一般步骤:(1)根据样本数据制成22列联表.(2)根据公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d),n=a+b+c+d计算K2的观测值k.(3)比较k与临界值的大小关系,做统计推断.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如表所示:性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例.(2)能否有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”?(3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由.附:P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.解析(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,所以该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为70500100%=14%.(2)K2的观测值k=500(40270-30160)2200300704309.967.因为9.9676.635,所以有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要帮助与性别有关”.(3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再采用分层抽样方法进行抽样调查,比采用简单随机抽样方法更好.一、选择题1.某工厂平均每天生产某种机器零件10000件,要求产品检验员每天抽取50件零件,检查其质量状况,采用系统抽样方法抽取,将零件编号为0000,0001,0002,9999,若抽取的第一组中的号码为0010,则在第三组中抽取的号码为().A.0210B.0410C.0610D.0810解析将零件分成50段,分段间隔为200,因此,在第三组中抽取的号码为0010+2200=0410,故选B.答案B2.某市2017年各月的平均气温()数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是().A.19B.20C.21.5D.23解析由茎叶图知所有的数据为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,中间两个数为20,20,故中位数为20,故选B.答案B3.某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n的值为().A.100B.150C.200D.250解析(法一)由题意可得70n-70=35001500,解得n=100.(法二)由题意得抽样比为703500=150,总体容量为3500+1500=5000,故n=5000150=100,故选A.答案A4.下列说法错误的是().A.回归直线过样本点的中心(x-,y-)B.线性回归方程对应的直线y=bx+a至少经过其样本数据点(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)中的一个点C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高D.在回归分析中,R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好解析回归直线必过样本点的中心,A正确;由残差分析可知残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高,C正确;在回归分析中,R2越接近于1,拟合效果越好,D正确;线性回归方程对应的直线y=bx+a一定经过样本点的中心(x-,y-),但不一定经过样本的数据点,所以B错误,故选B.答案B5.在“青春校园歌手大赛”比赛现场上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图所示,则去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为().A.85和6.8B.85和1.6C.86和6.8D.86和1.6解析剩余的数据为83,83,84,85,90,平均分x-=83+83+84+85+905=85,所以方差s2=15(83-85)2+(83-85)2+(84-85)2+(85-85)2+(90-85)2=6.8,故选A.答案A6.已知x与y之间的几组数据如下表:x123456y021334假设根据上表数据所得的线性回归方程为y=bx+a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是().A.bb,aaB.bb,aaC.baD.bb,aa解析由数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y=2x-2,b=2,a=-2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据,可求得b=i=16xiyi-6x-y-i=16xi2-6x-2=58-67213691-6722=57,a=y-bx-=136-5772=-13,所以ba,故选C.答案C二、填空题7.已知样本数据x1,x2,xn的平均数x-=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,2xn+1的平均数为.解析由x1,x2,xn的平均数x-=5,得2x1+1,2x2+1,2xn+1的平均数为2x-+1=25+1=11.答案118.某单位为了了解用电量y(kWh)与气温x()之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:气温()1812100用电量(kWh)27343762由表中数据得线性回归方程y=bx+a中的b=-2,预测当气温为-4 时,用电量约为kWh.解析根据题意知x-=18+12+10+04=10,y-=27+34+37+624=40.因为回归直线过样本点的中心,所以a=40-(-2)10=60,所以当x=-4时,y=(-2)(-4)+60=68,所以用电量约为68 kWh.答案689.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是0,100,样本数据分组为0,20),20,40),40,60),60,80),80,100,则(1)图中的x=;(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,则该校600名新生中估计有名学生可以申请住宿.解析(1)由频率分布直方图知20x=1-20(0.025+0.0065+0.003+0.003),解得x=0.0125.(2)上学时间不少于1小时的学生的频率为(0.003+0.003)20=0.12,因此估计有0.12600=72(人)可以申请住宿.答案(1)0.0125(2)72三、解答题10.某省会城市地铁将于2019年6月开始运营,为此召开了一个价格听证会,拟定价格后又进行了一次调查,随机抽查了50人,他们的月收入与态度如下表:月收入(单位:百元)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75赞成定价者人数123534认为价格偏高者人数4812521(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入,求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数);(2)由以上统计数据填写下面22列联表,分析是否有99%的把握认为“月收入以5500元为分界点对地铁定价的态度有差异”.月收入不低于5500元的人数月收入低于5500元的人数合计认为价格偏高者赞成定价者合计附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K2k0)0.050.01k03.8416.635解析(1)“赞成定价者”的月平均收入为x1=201+302+403+505+603+7041+2+3+5+3+450.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x2=204+308+4012+505+602+7014+8+12+5+2+1=38.75,“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1-x2=50.56-38.75=11.81(百元).(2)根据条件可得22列联表如下:月收入不低于5500元的人数月收入低于5500元的人数合计认为价格偏高者32932赞成定价者71118合计104050K2的观测值k=50(311-729)2104018326.2726.635,没有99%的把握认为“月收入以5500元为分界点对地铁定价的态度有差异”.
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