应用统计学第6章置信区间估计.ppt

1 本章教学目标 1 单个正态总体均值和方差的区间估计 2 总体比例的区间估计 3 均值和比例置信区间估计中的样本容量确定 4 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计 5 单侧置信区间估计 第6章置信区间估计 2 2 由于点估计存在误差 因此仅对总体参数作出点估计是不够的 还需要了解估计的精度及其误差 参数的区间估计就是在给定的可信度下 估计未知参数的可能取值范围 设 为总体分布的未知参数 若由样本确定的两 个统计量 和 对给定的概率 0 1 满足 则称随机区间 为 的置信度为1 的 置信区间 区间估计 3 一 总体方差 2的区间估计 1 2分布 设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为X的 一个样本 则它们的平方和 为服从自由度为n的 2分布 记为 2 2 n 6 1单个正态总体均值和方差的区间估计 4 若对于随机变量X1 X2 Xn 存在一组不全为 零的常数c1 c2 cn 使 c1X1 c2X2 cnXn 0 则称变量X1 X2 Xn线性相关 或称它们间存在 一个线性约束条件 若X1 X2 Xn间存在k个独立 的线性约束条件 则它们中仅有n k个独立的变量 并称平方和 的自由度为n k 自由度 的含义 5 2分布密度函数的图形 x f x o n 1 n 4 n 10 6 由给定的概率 和自由度 可查表得到 2分布的右侧 分位点 为 2分布中满足下式的的右侧 分位点 f x x o 7 语法规则如下 格式 CHIINV n 功能 返回 可用Excel的统计函数CHIINV返回 用Excel求 的值 8 2 总体方差 2的区间估计 设总体X N 2 2 2 1 从而 2的置信度为1 的置信区间为 由 和S2分别为样本均值和样本方差 可得 X1 X2 Xn为X的容量为n的样本 可以证明 9 例2 求例1中元件寿命方差 2的95 置信区间 解 由例1 S2 196 52 n 10 2 0 025 1 2 0 975 故所求 2的置信区间为 135 22 358 82 n 1 S2 n 1 S2 9 196 52 19 023 9 196 52 2 7 135 22 358 82 10 课堂练习1 某车床加工的缸套外径尺寸X N 2 现随机测得的10个加工后的某种缸套外径尺寸 mm 如下 90 01 90 01 90 02 90 03 89 9989 98 89 97 90 00 90 01 89 99 求 2的置信度为95 的置信区间 11 1 标准正态分布的右侧 分位点Z Z 是标准正态分布中满足下式的右侧 分位点 P Z Z z 1 二 总体均值 的区间估计 如图所示 Z 1 因此 可由正态分布表 得到Z 如 要查Z0 025 由正态分布表可查得 1 96 0 975 1 0 025 故Z0 025 1 96 12 由正态分布的性质可得 对给定的置信度1 z 2 2 z 2 2 1 N 0 1 由此可得 从而 的置信度为1 的置信区间为 为便于记忆和理解 将 的置信区间表示为如下形式 2 2已知时总体均值 的区间估计 有 其中d称为估计的允许误差 13 可用Excel的统计函数NORMSINV返回Z 语法规则如下 格式 NORMSINV 1 功能 返回Z 的值 说明 NORMSINV 返回的是Z1 的值 用Excel求Z 14 3 t分布 设X N 0 1 Y 2 n 且X与Y相互 独立 则随机变量 服从自由度为n的t分布 记为t t n 15 t分布密度函数的图形 标准正态分布分布是t分布的极限分布 当n很大时 t分布近似于标准正态分布 x f x 0 n 1 n 4 n 10 n N 0 1 16 t分布的右侧 分位点t n t n 为t分布中满足下式的右侧 分位点 P t t n 由给定的概率 可查表得到t n 由t分布的对称性 可得 t1 n t n t n t1 n t n 17 可用Excel的统计函数TINV返回t n 语法规则如下 格式 TINV 2 n 功能 返回t n 的值 说明 TINV n 返回的是t 2 n 的值 用Excel求t 2 n 18 4 2未知时总体均值 的区间估计 t n 1 设总体X N 2 和S2分别为样本均值和样本方差 由此可得 的置信度为1 的置信区间为 因此 对给定的置信度1 有 即 X1 X2 Xn为X的容量为n 的样本 可以证明 19 用样本比例代替总体比例 设总体比例为P 则当nP和n 1 P 都大于5时 样本成数p近似服从均值为P 方差为P 1 P n的正态 分布 从而 对给定的置信度1 由 可得总体成数P的置信度 为1 的置信区间为 6 2总体比例的区间估计 20 例3 求例1中元件平均寿命 的95 置信区间 故所求 的95 置信区间为 解 由例1 2 0 025 1423 1 S 196 5 1 0 95 0 05 n 10 查表得t0 025 9 2 2622 可用Excel的 工具 数据分析 描述统计 求解正态总体均值 的置信区间 21 课堂练习2 某车床加工的缸套外径尺寸X N 2 下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺寸 mm 90 01 90 01 90 02 90 03 89 9989 98 89 97 90 00 90 01 89 99 求 的置信度为95 的置信区间 22 例4 某厂为了解产品的质量情况 随机抽取了300件产品进行检验 其中有5件次品 求该厂产品次品率的置信度为95 的置信区间 解 产品次品率为比例 1 0 95 0 05 2 0 025 n 300 查表得Z0 025 1 96 样本成数 该厂产品次品率的置信度为95 的置信区间为 23 案例思考题 国外民意调查机构在进行民意调查时 通常要求在95 的置信度下将调查的允许误差 即置信区间的d值 控制在3 以内 问为满足该调查精度要求 至少需要多大的样本 如果要求置信度达到99 调查误差仍为3 此时至少需要多大的样本 24 案例思考题解答 1 本案例中 故需要的样本容量至少为 25 案例思考题解答 2 如果要求置信度达到99 则Z 2 Z0 005 2 575 26 6 3样本容量确定 前面的分析都是在给定的样本容量和样本数据下求置信区间 但在实际应用中 应当在随机抽样前就确定所需抽取的样本容量 抽取的样本容量过大 虽然可以提高统计推断的精度 但将增加不必要的人力 物力 费用和时间开支 如果抽取的样本容量过小 则又会使统计推断的误差过大 推断结果就达不到必要的精度要求 确定样本容量的原则 在满足所需的置信度和允许误差条件 置信区间的d值 下 确定所需的最低样本容量 27 1 总体均值区间估计时样本容量的确定 在给定置信度和允许误差d的条件下 由 可得 其中总体标准差或样本标准差也是未知的 通常可以先通过小规模抽样作出估计 由于使用的是近似公式 可知实际采用的最低样本容量应比计算结果稍大 28 例6 在例3元件平均寿命的区间估计问题中 要求 在95 的置信度下 使估计的允许误差不超过其平均寿命的10 并设已得到例1的先期抽样数据 求所需的最低样本容量 其他条件不变 在99 的置信度下求所需最低样本容量 解 由例1 S 196 5 d 1423 10 142 3 可知取n 10已能满足所给精度要求 可知此时取n 20就能满足所给精度要求 在总体均值的区间估计中 通常n 30就称为大样本 在大样本时 无论总体服从什么分布 都可用前述公式进行区间估计 29 2 总体比例区间估计时样本容量的确定 其中样本成数p同样可先通过小规模抽样作出估计 也可根据其他信息估计 或取0 5 30 例7 某企业要重新制定产品抽样检验的规范 已知过去检验的次品率在3 6 左右 现要求允许误差不超过2 置信度为95 问每次至少应抽查多少产品 解 由题意 要推断的是总体成数 p 0 036 1 p 0 964 d 0 02 0 05 z 2 z0 025 1 96 故每次至少应抽查334件产品 由此可知 在总体比例的区间估计问题中 要达到一定的精度要求 样本容量至少要在几百以上 31 例5 1 求例1中元件平均寿命的95 置信下限 2 求元件寿命方差的95 置信上限 解 1 从而 的单侧1 置信下限为 本例中 t0 05 9 1 8331 故所求置信下限为 1423 1 1 8331 196 5 该在95 的置信度下 该元件的平均寿命大于1309 2小时 1390 2 可得 由 6 4单侧置信限的区间估计 32 同理可得 2的置信度为1 的单侧置信上限为 本例中 故所求 2的95 置信上限为9 196 52 3 325 323 32 小时2 由以上分析可知 求单侧置信限与求双侧置信限的差别仅在于用相应分布的右侧 分位点代替双侧区间估计公式中的右侧 2分位点 解 2 2的置信上限 33 区间估计小结 P 2 2已知 2未知 双侧 双侧 双侧 双侧 单侧上限 单侧上限 单侧下限 单侧下限