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课时作业 31数列求和1(2017北京卷)已知等差数列an 和等比数列bn满足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通项公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.解析：(1)设等差数列an的公差为d.因为a2a410，所以2a14d10，解得d2，所以an2n1.(2)设等比数列bn的公比为q，因为b2b4a5，所以b1qb1q39，解得q23，所以b2n1b1q2n23n1.从而b1b3b5b2n113323n1.2(2018四川成都市高中毕业第一次诊断)已知数列an满足a12，an12an4.(1)证明：数列an4是等比数列；(2)求数列|an|的前n项和Sn.解析：(1)证明：a12，a142.an12an4，an142an82(an4)，2，an4是以2为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)，可知an42n，an2n4.当n1时，a120，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.依题意有，解得，或(舍去)故ann，bn2n1.(2)由(1)知Sn12nn(n1)，2()，2(1)()()2(1).4(2018陕西省宝鸡市高三质检)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：1Tn3.解析：(1)当n1时，a12.当n2时，Sn12an12，所以anSnSn12an2(2an12)，即2(n2，nN*)，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n(nN*)(2)证明：令bn，则Tn，得Tn，得Tn，整理得Tn3，由于nN*，显然Tn3.又令cn，则cn1，所以c12，所以Tn1.故1Tn3.5(2018武汉市武昌区调研考试)设等差数列an的前n项和为Sn，已知a19，a2为整数，且SnS5.(1)求an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.解析：(1)由a19，a2为整数可知，等差数列an的公差d为整数又SnS5，a50，a60，于是94d0,95d0，解得d.d为整数，d2.故an的通项公式为an112n.(2)证明：由(1)，得，Tn.令bn，由函数f(x)的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0b1b2b3b4，b5b6b70，bnb41.Tn.6(2018山东淄博模拟)已知数列an是等差数列，Sn为an的前n项和，且a1019，S10100；数列bn对任意nN*，总有b1b2b3bn1bnan2成立(1)求数列an和bn的通项公式；(2)记cn(1)n，求数列cn的前n项和Tn.解析：(1)设an的公差为d，则a10a19d19，S1010a1d100.解得a11，d2，所以an2n1.所以b1b2b3bn1bn2n1，当n1时，b13，当n2时，b1b2b3bn12n1.两式相除得bn(n2)因为当n1时，b13适合上式，所以bn(nN*)(2)由已知cn(1)n，得cn(1)n(1)n，则Tnc1c2c3cn(1)n，当n为偶数时，Tn(1)n1；当n为奇数时，Tn(1)n1.综上，Tn能力挑战7(2017山东卷)已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.解析：(1)设数列xn的公比为q.由题意得所以3q25q20.由已知得q0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1.记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn.由题意得bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1.得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1，所以Tn.
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