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课时作业39空间几何体的表面积和体积一、选择题1若圆锥的侧面展开图是圆心角为120，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是()A32 B21C43 D53解析：底面半径rll，故圆锥中S侧l2，S表l22l2，所以表面积与侧面积的比为43.答案：C2(2018东北三省四市联考)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()A122 B82C44 D84解析：本题考查三视图及几何体的表面积由三视图可知，该几何体是底面为正方形，一条棱垂直于底面的四棱锥，其底面边长为2，高为2，故该四棱锥的表面积为S2222222284，故选D.答案：D3(2018南昌模拟)某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为1)，则这个几何体的体积是()A. B.C16 D32解析：本题考查三视图、几何体的体积由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥ABCD，底面BCD是以4为直角边的等腰直角三角形，面积为8，高为4，则该几何体的体积为84，故选A.答案：A4(2018合肥市第一次教学质量检测)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为()A726 B724C486 D484解析：由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示)，其表面积为162(164)24(22)726，故选A.答案：A5(2018杭州一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A18 B16C15 D12解析：由三视图可知该几何体为一个横放的大直三棱柱中挖去一个小直三棱柱后的图形两个三棱柱的侧棱长都为4，大直三棱柱的底面三角形底边长为2，该边上的高为415，小直三棱柱的底面三角形底边长为2，该边上的高为1，所以该几何体的体积是V25421416.故选B.答案：B6(2018广东省五校协作体第一次诊断考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.1 B.C.1 D.1解析：由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为1221，故选C.答案：C7(2018甘肃省五掖市高三第一次考试)若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为()A. B.C. D.解析：由三视图易知该几何体为四棱锥，可将该四棱锥放入正方体中，正方体的外接球即为四棱锥的外接球，正方体的外接球的半径R，所以V球3.答案：D8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为()A. B.C. D16解析：本题考查三棱锥的三视图及体积由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥ABCD(其中正方体的棱长为4，A，C分别是两条棱的中点)，故所求体积为4，故选B.答案：B9(2018深圳调研)一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A36 B48C64 D72解析：本题考查三视图、空间几何体的体积由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为6,4,4的长方体被一个平面截去所剩下的部分，如图所示，其中C，G均为长方体对应边的中点，该平面恰好把长方体一分为二，则该几何体的体积为V6444，故选B.答案：B10(2018陕西省宝鸡市高三质检)已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积为()A. B16C. D32解析：设球O的半径为R，以球心O为顶点的三棱锥三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R，另外一个侧面是边长为R的等边三角形因此根据三棱锥的体积公式得R2R，R2，S球的表面积42216，故选B.答案：B二、填空题11(2018南昌模拟)如图，直角梯形ABCD中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为_解析：本题考查几何体的表面积所得几何体的表面积是底面圆半径为1、高为1的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为1、高为1的圆锥的侧面积之和，即为2(3).答案：(3)12(2018深圳调研)已知M，N分别为长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，A1B1的中点，若AB2，ADAA12，则四面体C1DMN的外接球的表面积为_解析：本题考查球的表面积由于四面体C1DMN的外接球即为三棱柱DMCD1NC1的外接球，由题可知DC2，DMCM，取CD中点E，连接ME，在RtDME中，可得sinCDM.设DMC的外接圆的半径为r，由正弦定理可知2r3，则r.设外接球的半径为R，则有R2r212，故外接球的表面积为S4R213.答案：1313(2018湖北调考)网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为_解析：本题考查三视图、棱柱的体积由三视图知该几何体由两个相同的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为2的三棱柱组合而成，其中一个是立放的，一个是平放的，其直观图如图所示，则体积为V21122，故填2.答案：214已知三棱锥PABC的所有顶点都在表面积为的球面上，底面ABC是边长为的等边三角形，则三棱锥PABC体积的最大值为_解析：依题意，设球的半径为R，则有4R2，R，ABC的外接圆半径为r1，球心到截面ABC的距离h，因此点P到截面ABC的距离的最大值等于hR4，因此三棱锥PABC体积的最大值为4.答案：能力挑战15(2018合肥一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A2 B.C3 D.解析：该几何体为一个横放的直三棱柱切去一个三棱锥后的图形原直三棱柱的体积为V12224，切去的三棱锥的体积为V2221，则该几何体的体积为VV1V24.故选D.答案：D16(2018东北三省四市联考模拟)点A，B，C，D在同一个球的球面上，ABBC1，ABC120.若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为()A. B4C. D.解析：本题考查多面体的外接球、四面体的体积、球的表面积因为ABBC1，ABC120，所以由正弦定理知ABC外接圆的半径r1，SABCABBCsin120.设外接圆的圆心为Q，则当DQ与平面ABC垂直时，四面体ABCD的体积最大，所以SABCDQ，所以DQ3.设球心为O，半径为R，则在RtAQO中，OA2AQ2OQ2，即R212(3R)2，解得R，所以球的表面积S4R2，故选D.答案：D17(2017新课标全国卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_解析：如图，连接OD，交BC于点G，由题意，知ODBC，OGBC.设OGx，则BC2x，DG5x，三棱锥的高h，SABC2x3x3x2，则三棱锥的体积VSABChx2.令f(x)25x410x5，x0，则f(x)100x350x4.令f(x)0得x2.当x(0,2)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x2，时，f(x)0，f(x)单调递减，故当x2时，f(x)取得最大值80，则V4. 三棱锥体积的最大值为4 cm3.答案：4
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