结构有限元法一般解法32西北工业大学课件.ppt

3 2选择位移函数位移法分析结构首先要求解的是位移场 要在整个结构建立位移的统一数学表达式往往是困难的甚至是不可能的 结构离散化成单元的集合体后 对于单个的单元 可以遵循某些基本准则 用较之以整体为对象时简单得多的方法设定一个简单的函数为位移的近似函数 称为位移函数 位移函数一般取为多项式形式 3 2位移函数的多项式形式一维单元中 位移函数的多项式形式表示为 二维单元中 三维单元中 插值多项式阶次的选择原则 1 插值多项式应当尽可能满足下节所述的收敛性要求 2 多项式描述的位移形式与局部坐标系无关 3 多项式的数目应等于单元结点自由度的数目第 1 条要求在后面讨论 第 2 条要求即在不同局部坐标系中 位移函数 多项式 表达式不变 这种性质称为几何等向性 为获得几何等向性 多项式中应含有不违反下图所示对称性的那些项 收敛性要求 1 位移函数中必须含有反映刚体运动的项数 多项式形式的常数项即体现这一刚体位移 2 位移函数应反映单元的常应变 即位移函数的导数中必须有常数项存在 当单元尺寸无限缩小时 单元应变将趋近于常量 因此单元位移函数中应包括常应变项 平面应力和空间应力中 应变是位移的一阶导数 常应变即要求位移函数含有一次项 3 位移函数必须保证在相邻单元的接触面上应变是有限的在有限单元法中 按位移求解时 只计算了各单元内部的应变能 没有计算相邻两单元接触面上的功 由于接触面的厚度是零 当接触面上的应变是有限值时 此功等于零 反之 当接触面上的应变不是有限值时 此功就可能不等于零 忽略它会引起一定的误差 3 3单元刚度矩阵建立 1 虚位移原理 2 单元位移 3 单元应力与应变 4 节点力与单元刚度矩阵 5 节点载荷 3 3 1虚位移原理 外力在虚位移上所做的虚功是 在物体的单位体积内 应力在虚应变上的虚应变能是 整个物体的虚应变能是 虚位移原理 如果在虚位移发生之前 物体处于平衡状态 那末在虚位移发生时 外力所做虚功等于物体的虚应变能 即 3 3 2单元位移 单元内任一点的位移可表示如下 3 3 3单元应变与应力 3 3 4结点力与单元刚度矩阵 3 3 5结点载荷 1 分布体积力 2 分布面力 3 4组装总刚 3 5解方程组求节点位移 1 约束位移边界条件处理 2 斜支座处理 3 高斯消去法解方程组 4 三角分解法 位移边界条件得到结构的刚度方程后 结构刚度方程的求解相当于总刚 K 求逆的过程 但从数学上看 未经处理的总刚是对称 半正定的奇异矩阵 它的行列式值为零 不能立即求逆 从物理意义看 结构处于自由状态 在结点载荷的作用下 结构可以产生任意的刚体位移 所以 在已知结点载荷的条件下 仍不能通过平衡方程唯一地解出结点位移 为了使问题可解 必须对结构加以足够的位移约束 也就是应用位移边界条件 首先要通过施加适当的约束 消除结构的刚体位移 再根据问题要求设定其它已知位移 约束的种类包括使某些自由度上位移为零 或给定其位移值 还有给定支承刚度等 本书涉及前两种 处理约束的方法 常用的有删行删列法 分块法 置大数法和置 1 法等 下面分别予以介绍 删行删列法若结构的某些结点位移值为零时 则可将总体刚度矩阵中相应的行 列删行删列划掉 然后将矩阵压缩即可求解 这种方法的优点是道理简单 如果删去的行列很多 则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小 通常用人工计算时常采用该方法 若用计算机算题 在程序编制上必带来麻烦 因为刚度矩阵压缩以后 刚度矩阵中各元素的下标必全改变 因而一般计算机算题不太采用 不是奇异的 因而可以解方程 分块法 由于全部给定的结点位移通常都不能在位移向量的开始或终了 故分块法的编号方法是很麻烦的 因此 可以采用下述等价方法 置 1 法 实际计算中 上述方程可以在不重新排列的情况下用下述分块的方法来进行 置大数法在总体刚度矩阵中 把指定位移所对应的行和列的对角元素乘上一个很大的数 此行其它元素保持不变 同时把该行对应的载荷项也相应地用来代替 这样就用近似方程组代替原方程组 得到近似满足边界条件的解 当指定位移为零时 只要将对角元素乘上一个大数 而相应的载荷项经证明可以不置零 删行删列法适用于指定零位移点 而置大数法适用于给定位移 包括零位移 斜支座的处理 对于边界结点i 须限定方向位移为此 将边界结点i的位移及载荷都变换到局部坐标 斜支座处理 高斯消去法解方程组 三角分解法 总体刚度平衡方程是对称 正定矩阵 因而可作如下分解 是单位上三角矩阵 结束