2018版高中数学 第2章 数列 2.2.2 第2课时 等差数列前n项和的综合应用学案 新人教B版必修5.doc

第 2 课时 等差数列前 n 项和的综合应用 1 掌握等差数列前 n 项和的性质及应用 重点 2 会求等差数列前 n 项和的最值 重点 易错点 3 能用裂项相消法求和 难点 基础 初探 教材整理 等差数列前 n 项和的性质 阅读教材 P40 P 41 完成下列问题 1 Sn与 an的关系 an Error 2 等差数列前 n 项和的性质 1 等差数列 an 中 其前 n 项和为 Sn 则 an 中连续的 n 项和构成的数列 Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n 构成等差数列 2 数列 an 是等差数列 Sn an2 bn a b 为常数 3 等差数列前 n 项和 Sn的最值 1 若 a10 则数列的前面若干项为负数项 或 0 所以将这些项相加即得 Sn 的最小值 2 若 a1 0 d0 d 0 则 S1是 Sn 的最小值 若 a1 0 d0 d1 可知 当 n 1 时 an Sn Sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2 n 12 12 12 当 n 1 时 a1 S1 1 2 1 12 32 也满足 式 数列 an 的通项公式为 an 2 n 12 由此可知 数列 an 是以 为首项 以 2 为公差的等差数列 32 1 已知前 n 项和 Sn求通项 an 先由 n 1 时 a1 S1求得 a1 再由 n 2 时 an Sn Sn 1 求 an 最后验证 a1是否符合 an 若符合则统一用一个解析式表示 2 由数列的前 n 项和 Sn求 an的方法 不仅适用于等差数列 它也适用于其他数列 再练一题 1 已知下面各数列 an 的前 n 项和 Sn的公式 求 an 的通项公式 1 Sn 2 n2 3 n 2 Sn 3 n 2 解 1 当 n 1 时 a1 S1 2 1 2 3 1 1 当 n 2 时 Sn 1 2 n 1 2 3 n 1 2 n2 7 n 5 则 an Sn Sn 1 2 n2 3 n 2 n2 7 n 5 2 n2 3 n 2 n2 7 n 5 4 n 5 此时若 n 1 an 4 n 5 4 1 5 1 a1 故 an 4 n 5 2 当 n 1 时 a1 S1 3 1 2 1 当 n 2 时 Sn 1 3 n 1 2 则 an Sn Sn 1 3 n 2 3 n 1 2 3 n 3 n 1 3 3 n 1 3 n 1 2 3 n 1 此时若 n 1 an 2 3 n 1 2 3 1 1 2 a1 故 an Error 等差数列前 n 项和的性质应用 1 在等差数列 an 中 若 S4 1 S8 4 则 a17 a18 a19 a20的值为 导学号 18082028 A 9 B 12 C 16 D 17 2 等差数列 an 共有 2n 1 项 所有的奇数项之和为 132 所有的偶数项之和为 120 则 n 等于 精彩点拨 1 解决本题关键是能发现 S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12 a17 a18 a19 a20能构成等差数列 2 利用等差数列奇偶项和的性质求解 或利用 基本量法 求解 自主解答 1 法一 由题意知 S4 1 S8 S4 3 而 S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12 S20 S16成等差数列 即 1 3 5 7 9 a17 a18 a19 a20 S20 S16 9 法二 S4 a1 a2 a3 a4 1 S8 S4 a5 a6 a7 a8 3 由 得 4 4d 2 即 8d 1 a17 a18 a19 a20 a5 a6 a7 a8 4 12 d 3 48 d 3 6 9 法三 Error 即Error 得 d 18 a17 a18 a19 a20 4 a17 4 3d2 4 4 a17 32d a1 32d 16d 4 64 d 1 8 9 a1 32d 2 法一 巧用性质 因为等差数列共有 2n 1 项 所以 S 奇 S 偶 an 1 即 S2n 12n 1 132 120 解得 n 10 132 1202n 1 法二 基本量思想 可设等差数列的首项为 a1 公差为 d 依题意可列方程组 Error 即Error 所以 即 n 10 n 1n 132120 答案 1 A 2 10 若数列 an 为等差数列 公差为 d 其前 n 项和为 Sn 1 Sk S2k Sk S3k S2k 构成公差为 k2d 的等差数列 2 若项数为 2n 项 则 Sn n an an 1 S 偶 S 奇 nd S 偶 S 奇 an 1 an 若项 数为 2n 1 项 则 S2n 1 2 n 1 a2n 1 S 偶 S 奇 an 1 S 偶 S 奇 n n 1 再练一题 2 1 等差数列 an 中 a2 a7 a12 24 则 S13 2 等差数列 an 的通项公式是 an 2 n 1 其前 n 项和为 Sn 则数列 的前 10 项和 Snn 为 导学号 18082029 解析 1 由 a2 a7 a12 24 得 a7 8 所以 S13 13 a7 13 104 a1 a132 2 因为 an 2 n 1 所以 a1 3 所以 Sn n2 2 n 所以 n 2 n 3 2n 1 2 Snn 所以 是公差为 1 首项为 3 的等差数列 Snn 所以前 10 项和为 3 10 1 75 10 92 答案 1 104 2 75 探究共研型 等差数列前 n 项和 Sn的函数特 征 探究 1 将首项为 a1 2 公差 d 3 的等差数列的前 n 项和看作关于 n 的函数 那么 这个函数有什么结构特征 如果一个数列的前 n 项和为 Sn 3 n2 n 那么这个数列是等差 数列吗 上述结论推广到一般情况成立吗 提示 首项为 2 公差为 3 的等差数列的前 n 项和为 Sn 2 n n2 n n n 1 32 32 12 显然 Sn是关于 n 的二次型函数 如果一个数列的前 n 项和为 Sn 3 n2 n 那么当 n 1 时 S1 a1 4 当 n 2 时 an Sn Sn 1 6 n 2 则该数列的通项公式为 an 6 n 2 所以该数列为 等差数列 一般地 等差数列的前 n 项和公式 Sn na1 d n2 n 若令 n n 1 2 d2 a1 d2 A B a1 则上式可写成 Sn An2 Bn A B 可以为 0 d2 d2 探究 2 已知一个数列 an 的前 n 项和为 Sn n2 5 n 试画出 Sn关于 n 的函数图象 你能说明数列 an 的单调性吗 该数列前 n 项和有最值吗 提示 Sn n2 5 n 它的图象是分布在函数 y x2 5 x 的图象上的 n 52 2 254 离散的点 由图象的开口方向可知该数列是递增数列 图象开始下降说明了 an 前 n 项为 负数 由 Sn的图象可知 Sn有最小值且当 n 2 或 3 时 Sn最小 最小值为 6 即数列 an 前 2 项或前 3 项和最小 数列 an 的前 n 项和 Sn 33 n n2 1 求 an 的通项公式 2 问 an 的前多少项和最大 3 设 bn an 求数列 bn 的前 n 项和 S n 精彩点拨 1 利用 Sn与 an的关系求通项 也可由 Sn的结构特征求 a1 d 从而 求出通项 2 利用 Sn的函数特征求最值 也可以用通项公式找到通项的变号点求解 3 利用 an判断哪些项是正数 哪些项是负数 再求解 也可以利用 Sn的函数特征判 断项的正负求解 自主解答 1 法一 当 n 2 时 an Sn Sn 1 34 2 n 又当 n 1 时 a1 S1 32 34 2 1 满足 an 34 2 n 故 an 的通项公式为 an 34 2 n 法二 由 Sn n2 33 n 知 Sn是关于 n 的缺常数项的二次型函数 所以 an 是等差数 列 由 Sn的结构特征知Error 解得 a1 32 d 2 所以 an 34 2 n 2 法一 令 an 0 得 34 2 n 0 所以 n 17 故数列 an 的前 17 项大于或等于零 又 a17 0 故数列 an 的前 16 项或前 17 项的和最大 法二 由 y x2 33 x 的对称轴为 x 332 距离 最近的整数为 16 17 由 Sn n2 33 n 的 332 图象可知 当 n 17 时 an 0 当 n 18 时 an 0 故数列 an 的前 16 项或前 17 项的和最大 3 由 2 知 当 n 17 时 an 0 当 n 18 时 an 0 所以当 n 17 时 Sn b1 b2 bn a1 a2 an a1 a2 an Sn 33 n n2 当 n 18 时 Sn a1 a2 a17 a18 an a1 a2 a17 a18 a19 an S17 Sn S17 2 S17 Sn n2 33 n 544 故 Sn Error 1 在等差数列中 求 Sn的最小 大 值的方法 1 利用通项公式寻求正 负项的分界点 则从第一项起到分界点该项的各项和为最大 小 2 借助二次函数的图象及性质求最值 2 寻求正 负项分界点的方法 1 寻找正 负项的分界点 可利用等差数列性质或利用Error 或Error 来寻找 2 利用到 y ax2 bx a 0 的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且 关于对称轴对称的两个整数对应项即为正 负项的分界点 3 求解数列 an 的前 n 项和 应先判断 an 的各项的正负 然后去掉绝对值号 转 化为等差数列的求和问题 再练一题 3 在等差数列中 a10 23 a25 22 1 该数列第几项开始为负 2 求数列 an 的前 n 项和 解 设等差数列 an 中 公差为 d 由题意得 Error Error 1 设第 n 项开始为负 an 50 3 n 1 53 3 n 533 从第 18 项开始为负 2 an 53 3 n Error 当 n 17 时 Sn n2 n 32 1032 当 n 17 时 Sn a1 a2 a3 an a1 a2 a17 a18 a19 an Sn 2 S17 32n2 1032n n2 n 884 32 1032 Sn Error 1 设 an 为等差数列 公差 d 2 Sn为其前 n 项和 若 S10 S11 则 a1 A 18 B 20 C 22 D 24 解析 由 S10 S11 得 a11 S11 S10 0 a1 a11 1 11 d 0 10 2 20 答案 B 2 已知某等差数列共有 10 项 其奇数项之和为 15 偶数项之和为 30 则其公差为 A 5 B 4 C 3 D 2 解析 由题意得 S 偶 S 奇 5 d 15 d 3 或由解方程组Error 求得 d 3 故选 C 答案 C 3 已知数列 an 的前 n 项和 Sn n2 1 则 an 解析 当 n 1 时 a1 S1 2 当 n 2 时 an Sn Sn 1 n2 1 n 1 2 1 2 n 1 又因为 n 1 时 an 2 n 1 1 a1 所以 an Error 答案 Error 4 数列 an 为等差数列 它的前 n 项和为 Sn 若 Sn n 1 2 则 的值为 导学号 18082030 解析 等差数列前 n 项和 Sn的形式为 Sn an2 bn 1 答案 1 5 已知数列 an 的前 n 项和公式为 Sn 2 n2 30 n 1 求数列 an 的通项公式 2 若 bn an an 1 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 解 1 Sn 2 n2 30 n 当 n 1 时 a1 S1 28 当 n 2 时 an Sn Sn 1 2 n2 30 n 2 n 1 2 30 n 1 4 n 32 当 n 1 时也满足此式 an 4 n 32 n N 2 由 1 知 bn an an 1 4 n 32 4 n 28 8 n 60 数列 bn 是以 8 为公差的等差数列 b1 52 Tn n 4 n2 56 n 52 8n 602