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3.3.2 极大值与极小值基础达标1函数f(x)x312x的极大值与极小值之和为_解析：函数的定义域为R，f(x)3x212，令f(x)0，解得x12或x22.列表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值16极小值16当x2时，函数有极大值f(2)16.当x2时，函数有极小值f(2)16.极大值与极小值之和为f(2)f(2)0.答案：02设函数f(x)ln x，则下列结论正确的是_x为f(x)的极大值点；x为f(x)的极小值点；x2为f(x)的极大值点；x2为f(x)的极小值点解析：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当x2时，f(x)0时；当x2时，f(x)0时，函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)0)有极大值9，则m的值是_解析：由f(x)3x22mxm2(xm)(3xm)0，得xm或xm，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)极大值极小值从而可知，当xm时，函数f(x)取得极大值9，即f(m)m3m3m319，m2.答案：25函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数yf(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极值点的个数是_解析：函数在xx0处取得极值必须满足两个条件：x0为f(x)0的根；导数值在x0左右异号所以，有3个极值点答案：36如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间(3，)内单调递增；函数yf(x)在区间(，3)内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断正确的是_(填序号)解析：当x(，2)时，f(x)0，所以f(x)在(，2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(2,2)上是增函数，在(4，)上为增函数，所以可排除和，可选择.由于函数在x2的左侧递增，右侧递减，所以当x2时，函数有极大值；而在x的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x的左右两侧均为增函数，所以x不是函数的极值点排除和.答案：7已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1和x1处取得极值，且f(1)1.(1)试求实数a，b，c的值；(2)试判断当x1时函数取得极大值还是极小值，并说明理由解：(1)f(x)3ax22bxc，由f(1)0，f(1)0，f(1)1解得a，b0，c；(2)f(x)x3x，f(x)x2，当x1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0.函数在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数所以，当x1时，函数取得极大值f(1)1；当x1时，函数取得极小值f(1)1.8设函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点解：(1)f(x)3x23a.因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，所以即解得(2)f(x)3(x2a)(a0)当a0，函数f(x)在(，)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点当a0时，由f(x)0得x.当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点能力提升1(2014苏州检测)若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是_解析：由f(x)3x26b0，得x(b0)，f(x)在(0,1)内有极小值，01，0b.答案：0b2设aR，若函数yeax3x(xR)有大于零的极值点，则a的取值范围是_解析：f(x)3aeax，函数在xR上有大于零的极值点，即f(x)3aeax0有正根；当f(x)3aeax0成立时，显然有a0即ln0结合a0解得参数a的范围为a3.答案：a33设a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由解：(1)令f(x)3x230，得x11，x21.又因为当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)a2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2，如图(1)当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2.如图(2)综上，当a2或a2时方程恰好有两个实数根4(创新题)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.解：(1)由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减极小值2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明：设g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.
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