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第二课三角函数的图象与性质及其应用核心速填1三角函数的性质(1)正弦函数：定义域为R，值域为1,1，奇函数，单调增区间：(kZ)；单调减区间：(kZ)(2)余弦函数：定义域为R，值域为1,1，偶函数，单调增区间：2k，2k(kZ)；单调减区间：2k，2k(3)正切函数：定义域为；值域为R，奇函数，单调增区间：2函数yAsin(x)的图象及简单应用A，对函数yAsin(x)图象的影响(1)对ysin(x)，xR的图象的影响：(2)(0)对ysin(x)的图象的影响：(3)A(A0)对yAsin(x)的图象的影响：体系构建题型探究三角函数图象的画法和解析式的确定(1)函数ytan在一个周期内的图象是()(2)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图13所示图13求f(x)的解析式；请写出g(x)f的表达式，并求出函数yg(x)的图象的对称轴和对称中心. 【导学号：84352150】(1)A(1)ytan的周期T2，排除B，D当x0时，tan.故选A.(2)由图可知A3，T2，f(x)3sin(2x)，f(x)3sin.由(1)知g(x)f3sin3sin3cos 2x，令2xk(kZ)，所求的对称轴为直线x(kZ)，令2xk(kZ)，x(kZ)，所求的对称中心为(kZ)规律方法(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线.(2)ysin x的图象的对称轴方程为xk，kZ，对称中心为(k，0)，kZ，ycos x的图象的对称轴方程为xk，kZ，对称中心为，kZ，ytan x的图象的对称中心为，kZ.(3)由已知条件确定函数yAsin(x)的解析式，需要确定A，其中A，易求，下面介绍求的几种方法.平衡点法由yAsin(x)Asin知它的平衡点的横坐标为，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1f(,)，则可求.确定最值法这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程.利用单调性将函数yAsin(x)的图象与ysin x的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出. 跟踪训练1已知函数yAsin(x)(0)的振幅为4，周期为6，初相为.(1)写出这个函数的解析式；(2)用“五点法”在所给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象解(1)由已知得A4，因此这个函数的解析式为y4sin.(2)列表：x47x02y4sin04040描点画图，其图象如图所示：三角函数的图象变换问题(1)已知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2(2)将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为()ABC0D(1)D(2)B(1)因为ysincoscos，所以曲线C1：ycos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线ycos 2x，再把得到的曲线ycos 2x向左平移个单位长度，得到曲线ycos 2cos.故选D.(2)ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后得ysinsin.若该函数为偶函数，则k，kZ，故k.当k0时.故选B.规律方法1函数ysin x的图象变换到yAsin(x)，xR图象的两种方法2对称变换(1)yf(x)的图象yf(x)的图象(2)yf(x)的图象yf(x)的图象(3)yf(x)的图象yf(x)的图象跟踪训练2将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为() 【导学号：84352151】Ay2sin By2sinCy2sinDy2sinD函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y2sin2sin，故选D.三角函数的性质(1)若函数f(x)3sin(2x)(00)是偶函数，则f(x)在0，上的单调递增区间是()A. B.C. D.(2)已知函数f(x)2sina1(其中a为常数)求f(x)的单调区间；若x时，f(x)的最大值为4，求a的值. 【导学号：84352152】思路探究(1)先根据函数f(x)是偶函数，求，再依据单调性求增区间，最后与0，求交集(2)由2k2x2k，kZ求增区间由2k2x2k，kZ求减区间先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值(1)B(1)因为函数f(x)3sin(2x)(0)是偶函数，所以，f(x)3sin3cos 2x，令2k2x2k，得kxk，可得函数f(x)的增区间为，kZ，所以f(x)在0，上的单调递增区间为.(2)由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调增区间为(kZ)，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调减区间为(kZ)0x，2x，sin1，f(x)的最大值为2a14，a1.母题探究：1.求本例(2)中函数yf(x)，xR取最大值时x的取值集合解当f(x)取最大值时，2x2k，2x2k，xk，kZ.当f(x)取最大值时，x的取值集合是.2在本例(2)的条件下，求不等式f(x)1的解集解由f(x)1得2sin21，所以sin所以2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.所以不等式f(x)1的解集为.三角函数的实际应用(1)如图14，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_图14(2)如图15，点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度 rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点的运动周期和频率. 【导学号：84352153】图15(1)8(1)根据图象得函数最小值为2，有3k2，k5，最大值为3k8.(2)当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为t，则POxt.由任意角的三角函数得点P的纵坐标为yrsin(t)，即为所求的函数关系式，点P的运动周期为T，频率为f.规律方法三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.(3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.跟踪训练3某地昆虫种群数量在七月份113日的变化如图16所示，且满足yAsin(x)b(0，0)根据图中数据求函数解析式图16解由图象可知ymax900，ymin700，且Abymax，Abymin，所以A100，b800，且T12，所以，将(7,900)代入函数解析式得72k，kZ.所以2k，kZ.因为0，所以，因此所求的函数解析式为：y100sin800.
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