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圆锥曲线方程复习课 圆锥曲线 双曲线定义 抛物线定义 椭圆的定义 统一定义 综合应用 平面内与两个定点F1 F2的距离和等于常数 大于 的点的轨迹叫做椭圆 F1 F2叫做椭圆的焦点 叫做椭圆的焦距 注意 椭圆的定义 2 常数必须大于 限制条件 1 平面内 是大前提 不可缺省 x轴 长轴长2ay轴 短轴长2b y轴 长轴长2ax轴 短轴长2b 椭圆的参数方程 变形 平方和 几个重要结论 设P是椭圆上的点 F1 F2是椭圆的焦点 F1PF2 则1 当P为短轴端点时 S PF1F2有最大值 bc2 当P为短轴端点时 F1PF2为最大3 椭圆上的点A1距F1最近 A2距F1最远4 过焦点的弦中 以垂直于长轴的弦为最短 双曲线的定义 平面内与两个定点F1F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点的距离叫双曲线的焦距 注意 平面内 三字不可省 这是大前提 距离差要取绝对值 否则只是双曲线的一支 常数必须小于 F1F2 a 0 0 a x轴 实轴长2ay轴 虚轴长2b y轴 实轴长2ax轴 虚轴长2b x a y R x R y a c 0 0 c 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 特点 a b e 渐近线 y x共轭双曲线 双曲线与双曲线互为共轭双曲线 特点 一个双曲线的实轴 虚轴分别是另一个双曲线的虚轴和实轴 焦距长相等 有共同的渐近线 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 注意 平面内 是大前提 不可缺省 X 0y R X 0y R x Ry 0 x Ry 0 设直线l过焦点F与抛物线y2 2px p 0 相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 则 通径长为 焦点弦长 抛物线焦点弦的几条性质 14 圆锥曲线的统一定义 椭圆 双曲线 定点F为焦点 定直线l为准线 e为离心率 抛物线 圆锥曲线的焦半径公式 椭圆 双曲线 抛物线 直线与圆锥曲线的位置关系 相切 相交 相离 双曲线 抛物线 交于一点 直线与渐近线平行 交于两点 交于两点 交于一点 直线平行于抛物线的对称轴 椭圆 两个交点 只有一个交点且 弦长公式 统一性 1 从方程形式看 都属于二次曲线 2 从点的集合 或轨迹 的观点看 它们都是与定点和定直线距离的比是常数e的点的集合 或轨迹 3 这三种曲线都是可以由平面截圆锥面得到的截线 4 概念补遗 共轭双曲线 等轴双曲线 焦半径公式 椭圆的参数方程 焦点弦 有共同渐近线的双曲线系方程 基础题例题 1 已知点A 2 0 B 3 0 动点P x y 满足PA PB x2 则点P的轨迹是 A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 D A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 D 3 ABC的顶点为A 0 2 C 0 2 三边长a b c成等差数列 公差d 0 则动点B的轨迹方程为 基础题例题 O A 0 2 C 0 2 x y B x y a BC b AC c AB a c 2b 且a b c BC BA 8 B点的轨迹是以A C为焦点的椭圆 依题意 满足条件的轨迹方程为 1 已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3 则P点到另一个焦点的距离为 A 2B 3C 5D 7 D 典型例题 C 3 如果方程表示焦点在y轴上的椭圆 那么实数k的取值范围是 A B C D D 4 椭圆的焦点为F1和F2 点P在椭圆上 如果线段PF1的中点在y轴上 那么 PF1 是 PF2 的 A 7倍B 5倍C 4倍D 3倍 A 6 已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点 交椭圆于A B两点 求弦AB的长 法一 弦长公式法二 焦点弦 7 已知椭圆求以点P 2 1 为中点的弦所在直线的方程 思路一 设两端点M N的坐标分别为 代入椭圆方程 作差因式分解求出直线MN斜率 即求得MN的方程 8 如果方程表示双曲线 则实数m的取值范围是 A m 2 B m 1或m 2 C 1 m 2 D 1 m 1或m 2 D D 10 已知圆C过双曲线的一个顶点和一个焦点 且圆心在此双曲线上 则圆心到双曲线中心的距离是 11 如图 已知OA是双曲线的实半轴 OB是虚半轴 F为焦点 且S ABF BAO 30 则双曲线的方程为 12 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0 直线y x 1与其相交于M N两点 MN中点的横坐标为 则此双曲线的方程是 A B C D D 18 过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 两点 如果x1 x2 6 那么 AB 长是 A 10B 8C 6D 4 B 19 过抛物线的焦点且垂直于x轴的弦为AB O为抛物线顶点 则大小 A 小于90 B 等于90 C 大于90 D 不确定 C 20 经过点P 2 4 的抛物线的标准方程是 21 抛物线y2 2x上到直线x y 3 0的距离最短的点的坐标为 本题解法体现了抛物线定义的应用 在解答抛物线的有关问题时 常将抛物线上的点到焦点的距离转化为它到准线的距离 要善于用定义解题 即把动点P到焦点F的距离转化为动点P到准线的距离 再见