资源描述
二一般形式的柯西不等式课后篇巩固探究A组1.已知a,b,c均大于0,A=a2+b2+c23,B=a+b+c3,则A,B的大小关系是()A.ABB.ABC.A0,所以a2+b2+c23a+b+c3.答案B2.若x2+y2+z2=1,则x+y+2z 的最大值等于()A.2B.4C.2D.8解析由柯西不等式,可得12+12+(2)2(x2+y2+z2)(x+y+2z)2,即(x+y+2z)24,因此x+y+2z2当且仅当x=y=z2,即x=12,y=12,z=22时,等号成立,即x+y+2z的最大值等于2.答案A3.已知a12+a22+an2=1,x12+x22+xn2=1,则a1x1+a2x2+anxn的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析(a1x1+a2x2+anxn)2(a12+a22+an2)(x12+x22+xn2)=11=1,a1x1+a2x2+anxn的最大值是1.答案A4.设a,b,c均为正数且a+b+c=9,则4a+9b+16c的最小值为()A.81B.49C.9D.7解析由柯西不等式,可得4a+9b+16c=19(a+b+c)4a+9b+16c19a2a+b3b+c4c2=1981=9,当且仅当a2=b3=c4,即a=2,b=3,c=4时,等号成立,故所求最小值为9.答案C5.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是()A.16B.13C.6D.3解析由柯西不等式,得(12+12+12)x2+y2+(1-x-y)2x+y+(1-x-y)2=1,即x2+y2+(1-x-y)213,当且仅当x=y=1-x-y,即x=y=13时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值13.答案B6.已知a,b,c0,且a+b+c=1,则4a+1+4b+1+4c+1的最大值为.解析由柯西不等式,得(4a+1+4b+1+4c+1)2=(14a+1+14b+1+14c+1)2(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=34(a+b+c)+3=21.当且仅当a=b=c=13时,取等号.故4a+1+4b+1+4c+1的最大值为21.答案217.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则2a+2b+2c的最小值为.解析因为(a+b+c)2a+2b+2c=(a)2+(b)2+(c)22a2+2b2+2c2a2a+b2b+c2c2=18,所以2a+2b+2c2当且仅当a2=b2=c2,即a=b=c=3时,等号成立,故2a+2b+2c的最小值为2.答案28.设a,b,c,x,y,z都是正数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则a+b+cx+y+z=.解析由柯西不等式知2536=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2=302=2536,当且仅当ax=by=cz=k时,等号成立.由k2(x2+y2+z2)2=2536,解得k=56,所以a+b+cx+y+z=k=56.答案569.已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证2a+b+2b+c+2c+a9.证明左边=2(a+b+c)1a+b+1b+c+1c+a=(a+b)+(b+c)+(c+a)1a+b+1b+c+1c+a(1+1+1)2=9.当且仅当a=b=c=13时,等号成立,故原不等式成立.10.已知x,y,zR,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值.解由柯西不等式,得x+(-2)y+(-3)z212+(-2)2+(-3)2(x2+y2+z2),即(x-2y-3z)214(x2+y2+z2),所以1614(x2+y2+z2).因此x2+y2+z287,当且仅当x=y-2=z-3,即当x=27,y=-47,z=-67时,x2+y2+z2的最小值为87.B组1.已知x2+y2+z2=1,则x+2y+2z的最大值为()A.1B.2C.3D.4解析由柯西不等式,得(x+2y+2z)2(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,所以-3x+2y+2z3.当且仅当|x|=y2=z2时,等号成立.所以x+2y+2z的最大值为3.答案C2.导学号26394054已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,则3a+2b+c的最大值等于()A.39B.13C.13D.18解析3a+2b+c=3a+2b+133c3+1+13(a+2b+3c)=39当且仅当a3=2b1=3c13时,等号成立,故最大值为39.答案A3.设a,b,c为正数,则(a+b+c)4a+9b+36c的最小值是.解析(a+b+c)4a+9b+36c=(a)2+(b)2+(c)22a2+3b2+6c2a2a+b3b+c6c2=(2+3+6)2=121.当且仅当a2=b3=c6时,等号成立.答案1214.设x,y,zR,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.解析2x+2y+z+8=02(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(uv)2|u|2|v|2,即2(x-1)+2(y+2)+(z-3)2(22+22+12)(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2.所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(-9)29=9,当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值9.答案95.导学号26394055已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x2+x3+x4=6,x12+x22+x32+x42=12,求证0xi3(i=1,2,3,4).证明由柯西不等式,得(x2+x3+x4)2(1+1+1)(x22+x32+x42),由题设条件,得x2+x3+x4=6-x1,x22+x32+x42=12-x12,代入上式,得(6-x1)23(12-x12),36-12x1+x1236-3x12,4x12-12x10,0x13,同理可证0xi3(i=2,3,4).综上所述,0xi3(i=1,2,3,4).6.导学号26394056设实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.解由已知,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化简,得5e2-16e00e165,故emax=165.
展开阅读全文