2019-2020年苏教版高中数学（选修2-2）2.2《直接证明与间接证明》word教案2篇.doc

2019-2020年苏教版高中数学（选修2-2）2.2直接证明与间接证明word教案2篇分析法和综合法是两种常用的解题方法，但有时候我们常常把这两种方法结合起来使用效果更好一、用分析法寻找思路，用综合法表述过程例已知，求证：分析：本题用综合法不容易找到证题思路，因此用分析法探路要证原不等式成立，由，得，因此移项，只需证通分，得，即证只需证成立思路找到证明：，即，点评：分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程二、分析法与综合法联合使用对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的思考过程，单靠分析法或综合法显得较为困难为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径上面所言的思维模式可概括为如下图所示综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用把分析法与综合法并列起来进行思考，寻求问题的解答途径，就是人们通常所说的分析、综合法例2 若a，b，c是不全相等的正数，求证：证明：要证，只需证，只需证又，且上述三式中的等号不全成立，所以c因此注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法点拨反证法反证法是一种重要的间接证明方法，下面加以系统归纳，供参考1宜用反证法证明的题型易导出与已知矛盾的命题；否定性命题；惟一性命题；至少至多型命题；一些基本定理；必然性命题等2步骤假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）3典例分析例求证：a、b、c为正实数的充要条件是，且和分析：由a、b、c为正实数，显然易得，即“必要性”的证明用直接证法易于完成，并不需要用反证法证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a、b、c是正实数，有些难度，于是，试试反证法证明：（1）证必要性（略）（2）证充分性假设a、b、c不全为正实数（原结论是a、b、c都是正实数），由于，则它们只能是二负一正不妨设且且，又由于，又，而，与的假设矛盾假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数说明：如果从处开始，如下进行推理：，即，又，则，与式矛盾这样，矛盾的焦点就发生在两部分推理的结论上了，即自相矛盾；还可以让矛盾的焦点发生在已知条件上，从处开始，于是，与已知矛盾，这个途径最简捷评注：反证法矛盾的焦点，可以是和“已知条件”或“定义”、“公理”、“定理”、“反面假设”矛盾，也可以自相矛盾（即两部分推理的结果矛盾）其本质是，先利用的和剩余者之间的矛盾究竟先利用哪些好，应根据题目的具体情况决定顺其自然，因势利导，不必拘泥于一格直接证明与间接证明精析在数学中，证明是引用一些真实的命题来确定某命题真实性的思维形式数学常用的证明方法有直接证明与间接证明1直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明常用的直接证明方法有综合法与分析法（1）综合法与分析法要点解析表（2）对分析法证题的说明“若成立，则成立”，此命题用分析法证明的步骤如下：要证明（或为了证明）成立，只需证明成立（是成立的充分条件），要证成立，只需证明成立（是成立的充分条件），要证明成立，只需证明A成立（A是成立的充分条件），A成立，B成立注：每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件，但绝不能是必要不充分条件；在寻求充分条件时，起调控方向作用的是本题条件即在一系列可以证明结论的条件中，与本题条件较为接近的条件，才是我们所需要的；“只需证明”、“为了证明”、“A成立，B成立”类似这些语言必须有，而且要用它们把每一步连结起来（3）综合法和分析法的优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述繁琐，且容易出错综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节因此，在实际解题时，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，则原命题得证2间接证明不是从正面论证命题的真实性，而是考虑证明它的等价命题，间接地达到目的常见的间接证明方法是反证法反证法是一种常用的间接证明方法用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：应用反证法证明数学命题，一般有下面三个步骤：（1）反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；（2）归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；（3）存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立注：反设要准确，即取结论的否定形式时要准确，有些否定形式需注意全称量词与特称量词的相互转换所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与公理、定义、定理、条件矛盾或与临时假定矛盾，以及自相矛盾等各种情况反证法往往用于解决正面解决较为困难的问题（正难则反）或需分多种情况讨论的问题（如至多、至少等问题）等反证法中的“特殊化”反证法是一种重要的证明方法反证法的难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路，以便尽快凸现矛盾笔者认为，“特殊化”有时是反证法得以成功的一个重要突破口一、特殊值巧合的数目，特殊的数字，个性化的特征，看似纯属偶然，但往往蕴含着正确解法的必然例1设、是定义上的函数证明：存在、，使得分析：要找出具体的、，难以下手，不妨考虑用反证法证明：假设这样的、不存在取特殊值，得同理，故，这是不可能的因此，原命题成立注：本题反复利用与这两个特殊值，并进行凑配，从而推得矛盾“”二、特殊运算某些相对独立的对象各有各的特点，不足以发现问题的本质，而当通过特殊运算使之形成一个整体时，矛盾便暴露无遗了1求和例2今有有限个砝码，它们的总重量是，将它们分别编号为证明：从这有限个砝码中必可找出一个编号为的砝码，它的重量大于证明：假设不存在这样一个编号，使得相应的砝码重量设共有个砝码，从而，有，累加求和，得，矛盾 因此，原命题成立2求积例3证明：任何三个实数都不可能同时满足下列三个不等式：，分析：本题要证明所有的对象都具有同一性质，无法从正面考虑，宜用反证法证明：假设存在三个实数同时满足题设的三个不等式将它们的两端都同时平方，然后分别移项、分解因式得， 得，这显然是不可能的因此，原命题成立注：本题所得到的三个不等式，单独看哪一个都看不出有什么毛病，而一旦把它们求积，矛盾便凸现在眼前了