条件概率课堂讲解.ppt

概率论 第三讲条件概率与事件的独立性 本讲要点1 理解条件概率的概念2 理解事件独立性的概念3 理解伯努利定理4 应用上述概念与定理解决简单问题 条件概率 在事件B发生的条件下求事件A发生的概率就称为条件概率 记作P A B 一般地P A B P A 例 掷一颗均匀骰子 A 掷出2点 B 掷出偶数点 问假设事先知道抛出的是偶数点则事件A发生的概率 分析 已知事件B发生 此时试验所有可能结果就变少了 即样本空间减缩了 P A B 即在新的样本空间下求A发生的概率 P A 3 10 又如 10件产品中有7件正品 3件次品 7件正品中有3件一等品 4件二等品 现从这10件中任取一件 记 B 取到正品 A 取到一等品 P A B 若事件B已发生 则样本空间发生变化 则事件A在新的样本空间中概率就是 设A B是两个事件 且P A 0 则称 1 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下 事件A的条件概率 例子 1 某地区一年内刮风的概率是 下雨的概率是 既刮风又下雨的概率是求 1 在刮风的条件下 下雨的概率 2 在下雨的条件下 刮风的概率 分析 设A 刮风 B 下雨 由条件概率的定义得到 课堂练习 某人有一笔资金 他投入基金的概率是0 6 购买股票的概率是0 3 两项都投资的概率是0 2 1 已知他已投入基金 再购买股票的概率有多大 2 已知他已购买股票 再投入基金的概率有多大 条件概率的性质 自行验证 课后证明 假设证明 乘法公式 由条件概率公式可以推出我们把上面的式子称为乘法公式 利用乘法公式可以计算两个事件同时发生的概率乘法公式可以推广 假设有n个事件 n 2 且 一场精彩的足球赛将要举行 5个球迷好不容易才搞到一张入场券 大家都想去 只好用抽签的方法来解决 5张同样的卡片 只有一张上写有 入场券 其余的什么也没写 将它们放在一起 让5个人依次抽取 大家不必争先恐后 你们一个一个按次序来 谁抽到 入场券 的机会都一样大 我们用Ai表示 第i个人抽到入场券 i 1 2 3 4 5 显然 P A1 1 5 P 4 5 第1个人抽到入场券的概率是1 5 也就是说 则表示 第i个人未抽到入场券 因为若第2个人抽到了入场券 第1个人肯定没抽到 也就是要想第2个人抽到入场券 必须第1个人未抽到 由于 由乘法公式 P A2 4 5 1 4 1 5 计算得 这就是有关抽签顺序问题的解答 同理 第3个人要抽到 入场券 必须第1 第2个人都没有抽到 因此 4 5 3 4 1 3 1 5 继续做下去就会发现 每个人抽到 入场券 的概率都是1 5 抽签原理问题 通常成为 即P A B P A 显然事件B的发生 并不影响事件A发生的概率 这时称事件A B独立 事件的独立性 A 第二次掷出6点 B 第一次掷出6点 先看一个例子 将一颗均匀骰子连掷两次 设 定义 如果事件A B的发生不相互影响 则称事件A B相互独立 若A B相互独立 则有定理 A B相互独立 例从一副不含大小王的扑克牌中任取一张 记A 抽到K B 抽到的牌是黑色的 可见 P AB P A P B 由于P A 4 52 1 13 故事件A B独立 问事件A B是否独立 解 P AB 2 52 1 26 P B 26 52 1 2 由于 甲命中 并不影响 乙命中 的概率 故认为A B独立 甲 乙两人向同一目标射击 记A 甲命中 B 乙命中 A与B是否独立 例如 即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率 思考 事件A与B互不相容与A和B相互独立是一回事吗 如图事件A与B相互独立吗 结论 若A与B独立 且P A 0 P B 0 则A B不互不相容若A B互不相容 且P A 0 P B 0 则A与B不独立 推广 若相互独立 则有如下的公式成立 例 三人独立地去破译一份密码 已知各人能译出的概率分别为1 5 1 3 1 4 问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少 解将三人编号为1 2 3 所求为 记Ai 第i个人破译出密码 i 1 2 3 已知 P A1 1 5 P A2 1 3 P A3 1 4 1 2 1 1 P A1 1 P A2 1 P A3 3 小结 这一讲 我们介绍了条件概率的概念 给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式 并且介绍了事件的独立性 他们在计算概率时经常使用 需要牢固掌握 谢谢 国庆愉快