概率论与数理统计课件ppt第三章.ppt

3 1多维随机变量及其联合分布 3 2边际分布与随机变量的独立性 3 3多维随机变量函数的分布 3 4多维随机变量的特征数 3 5条件分布与条件期望 第三章多维随机变量及其分布 3 3 1多维随机变量定义3 1 1若X Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量 则称 X Y 是两维随机变量 同理可定义n维随机变量 随机向量 3 1多维随机变量及其联合分布 定义3 1 2 3 1 2联合分布函数 F x y P X x Y y 为 X Y 的联合分布函数 以下仅讨论两维随机变量 任对实数x和y 称 注意 F x y 为 X Y 落在点 x y 的左下区域的概率 X1 X2 x1 x2 x1 x2 联合分布函数的基本性质 1 F x y 关于x和y分别单调增 2 0 F x y 1 且 F y F x 0 F 1 3 F x y 关于x和y分别右连续 4 当a b c d时 有 F b d F b c F a d F a c 0 注意 上式左边 P a X b c Y d 单调性 有界性 右连续性 非负性 二维离散随机变量 3 1 3联合分布列 若 X Y 的可能取值为有限对 或可列对 则称 X Y 为二维离散随机变量 二维离散分布的联合分布列 称 pij P X xi Y yj i j 1 2 为 X Y 的联合分布列 其表格形式如下 Y X y1y2 yj x1x2 xi p11p12 p1j p21p22 p2j pi1pi2 pij 联合分布列的基本性质 1 pij 0 i j 1 2 2 pij 1 非负性 正则性 确定联合分布列的方法 1 确定随机变量 X Y 的所有取值数对 2 计算取每个数值对的概率 3 列出表格 例3 1 1将一枚均匀的硬币抛掷4次 X表示正面向上的次数 Y表示反面朝上次数 求 X Y 的联合分布列 XY0413223140 P X 0 Y 4 P X 2 Y 2 1 4 6 16 P X 3 Y 1 1 4 P X 4 Y 0 0 54 1 16 P X 1 Y 3 0 54 1 16 解 概率非零的 X Y 可能取值对为 其对应的概率分别为 X01234 Y01234 列表为 00001 160001 40006 160001 40001 160000 例3 1 2设随机变量Y N 0 1 解 X1 X2 的可能取值数对及相应的概率如下 P X1 0 X2 0 P Y 1 Y 2 P Y 2 2 2 2 0 0455 P X1 0 X2 1 P Y 1 Y 2 P 1 Y 2 2 2 1 0 2719 P X1 1 X2 0 P Y 1 Y 2 0 P X1 1 X2 1 P Y 1 Y 2 P Y 1 0 6826 求 的联合分布列 列表为 X101 X201 0 04550 271900 6826 课堂练习 设随机变量X在1 2 3 4四个整数中等可能地取值 另一个随机变量Y在1到X中等可能地取一整数值 试求 X Y 的联合分布列 设二维随机变量 X Y 的分布函数为F x y 若存在非负可积函数p x y 使得 3 1 4联合密度函数 则称 X Y 为二维连续型随机变量 称p x y 为联合密度函数 联合密度函数的基本性质 1 p x y 0 非负性 2 注意 正则性 一 多项分布 3 1 5常用多维分布 若每次试验有r种结果 A1 A2 Ar 记P Ai pi i 1 2 r 记Xi为n次独立重复试验中Ai出现的次数 则 X1 X2 Xr 的联合分布列为 二 多维超几何分布 从中任取n只 记Xi为取出的n只球中 第i种球的只数 口袋中有N只球 分成r类 第i种球有Ni只 N1 N2 Nr N 则 X1 X2 Xr 的联合分布列为 三 二维均匀分布 若二维连续随机变量 X Y 的联合密度为 则称 X Y 服从D上的均匀分布 记为 X Y U D 其中SD为D的面积 四 二维正态分布 若二维连续随机变量 X Y 的联合密度为 则称 X Y 服从二维正态分布 记为 X Y N 例3 1 3 若 X Y 试求常数A 解 所以 A 6 A 6 例3 1 4 若 X Y 试求P X 2 Y 1 解 P X 2 Y 1 2 1 x 2 y 1 例3 1 5 若 X Y 试求P X Y D 其中D为2x 3y 6 3 2 2x 3y 6 解 3 2边际分布与随机变量的独立性 问题 已知二维随机变量 X Y 的分布 如何求出X和Y各自的分布 3 2 1边际分布函数 巳知 X Y 的联合分布函数为F x y 则 Y FY y F y X FX x F x 3 2 2边际分布列 巳知 X Y 的联合分布列为pij 则 X的分布列为 Y的分布列为 X Y 3 2 3边际密度函数 巳知 X Y 的联合密度函数为p x y 则 X的密度函数为 Y的密度函数为 由联合分布可以求出边际分布 但由边际分布一般无法求出联合分布 所以联合分布包含更多的信息 注意点 1 二维正态分布的边际分布是一维正态 若 X Y N 注意点 2 则X N Y N 二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布 例3 2 1设 X Y 服从区域D x y x2 y2 1 上的均匀分布 求X的边际密度p x 解 由题意得 1 1 当 x 1时 p x y 0 所以p x 0 当 x 1时 不是均匀分布 例3 2 2设二维随机变量 X Y 的密度函数为 求概率P X Y 1 解 P X Y 1 y x x y 1 1 2 若满足以下之一 i F x y FX x FY y ii pij pipjiii p x y pX x pY y 则称X与Y是独立的 3 2 4随机变量间的独立性 1 X与Y是独立的其本质是 注意点 任对实数a b c d 有 2 X与Y是独立的 则g X 与h Y 也是独立的 例3 2 3 X Y 的联合分布列为 问X与Y是否独立 解 边际分布列分别为 X01P0 70 3 Y01P0 50 5 因为 所以不独立 例3 2 4 已知 X Y 的联合密度为 问X与Y是否独立 所以X与Y独立 注意 p x y 可分离变量 解 边际分布密度分别为 例 从 0 1 中任取两个数 求下列事件的概率 1 两数之和小于1 2 2 两数之积小于1 4 注意点 1 1 X Y 服从矩形上的均匀分布 则X与Y独立 2 X Y 服从单位圆上的均匀分布 则X与Y不独立 见前面例子 3 联合密度p x y 的表达式中 若x的取值与y的取值有关系 则X与Y不独立 注意点 2 4 若联合密度p x y 可分离变量 即p x y g x h y 则X与Y独立 习题3 216题 5 若 X Y 服从二元正态N 则X与Y独立的充要条件是 0 3 3多维随机变量函数的分布 问题 已知二维随机变量 X Y 的分布 如何求出Z g X Y 的分布 1 设 X1 X2 Xn 是n维离散随机变量 则Z g X1 Xn 是一维离散随机变量 3 3 1多维离散随机变量函数的分布 2 多维离散随机变量函数的分布是容易求的 i 对 X1 X2 Xn 的各种可能取值对 写出Z相应的取值 ii 对Z的相同的取值 合并其对应的概率 3 3 2最大值与最小值分布 例3 3 1设X与Y独立 且X Y等可能地取值0和1 求Z max X Y 的分布列 解 X01P1 21 2 Y01P1 21 2 Z max X Y 的取值为 0 1 P Z 0 P X 0 Y 0 P X 0 P Y 0 1 4 P Z 1 P X 0 Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 3 4 设X1 X2 Xn 独立同分布 其分布函数和密度函数分别为FX x 和pX x 一般情况 若记 Y max X1 X2 Xn Z min X1 X2 Xn 则 Y的分布函数为 FY y FX y n Y的密度函数为 pY y n FX y n 1pX y Z的分布函数为 FZ z 1 1 FX z n Z的密度函数为 pZ z n 1 FX z n 1pX z 3 3 3连续场合的卷积公式 定理3 3 1设连续随机变量X与Y独立 则Z X Y的密度函数为 离散场合的卷积公式 设离散随机变量X与Y独立 则Z X Y的分布列为 卷积公式的应用 例3 3 2X与Y是独立同分布的标准正态变量 求Z X Y的分布 解 所以Z X Y N 0 2 进一步的结论见后 分布的可加性 若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布 则称此类分布具有可加性 二项分布的可加性 若X b n1 p Y b n2 p 注意 若Xi b 1 p 且独立 则Z X1 X2 Xn b n p 且独立 则Z X Y b n1 n2 p 泊松分布的可加性 若X P 1 Y P 2 注意 X Y不服从泊松分布 且独立 则Z X Y P 1 2 正态分布的可加性 若X N Y N 注意 X Y不服从N 且独立 则Z X Y N X Y N 独立正态变量的线性组合仍为正态变量 见下 独立正态变量的线性组合仍为正态变量 Xi N i i2 i 1 2 n 且Xi间相互独立 实数a1 a2 an不全为零 则 伽玛分布的可加性 若X Ga 1 Y Ga 2 注意 X Y不服从Ga 1 2 且独立 则Z X Y Ga 1 2 2分布的可加性 若X 2 n1 Y 2 n2 注意 1 X Y不服从 2分布 且独立 则Z X Y 2 n1 n2 2 若Xi N 0 1 且独立 则Z 2 n 注意点 1 独立的0 1分布随机变量之和服从二项分布 2 独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布 例3 3 3设X与Y独立 X U 0 1 Y Exp 1 试求Z X Y的密度函数 解 被积函数的非零区域为 00 用卷积公式 见下图 x z 1 z x 因此有 1 z 0时 pZ z 0 2 0 z 1时 pZ z 3 1 z时 pZ z 1 3 3 4变量变换法 已知 X Y 的分布 X Y 的函数 求 U V 的分布 变量变换法的具体步骤 有连续偏导 存在反函数 则 U V 的联合密度为 若 其中J为变换的雅可比行列式 增补变量法 可增补一个变量V g2 X Y 若要求U g1 X Y 的密度pU u 先用变量变换法求出 U V 的联合密度pUV u v 用此方法可以求出卷积公式 积的公式 商的公式 然后再由联合密度pUV u v 去求出边际密度pU u 本节主要给出X与Y的相关系数 3 4多维随机变量的特征数 3 4 1多维随机变量函数的数学期望 定理3 4 1设 X Y 是二维随机变量 Z g X Y 则 E Z E g X Y 课堂练习 在长为a的线段上任取两点X与Y 求两点间的平均长度 求E X Y 3 4 2数学期望与方差的运算性质 1 E X Y E X E Y 2 当X与Y独立时 E XY E X E Y 性质3 4 1 性质3 4 2 讨论X Y的方差 1 Var X Y Var X Var Y 2E X E X Y E Y 3 当X与Y独立时 E X E X Y E Y 0 4 当X与Y独立时 Var X Y Var X Var Y 2 E X E X Y E Y E XY E X E Y 注意 以上命题反之不成立 3 4 3协方差 定义3 4 1称Cov X Y E X E X Y E Y 为X与Y的协方差 协方差的性质 4 Cov X Y Cov Y X 性质3 4 7 1 Cov X Y E XY E X E Y 性质3 4 4 2 若X与Y独立 则Cov X Y 0 性质3 4 5 6 Cov aX bY abCov X Y 性质3 4 9 3 Var X Y Var X Var Y 2Cov X Y 性质3 4 6 5 Cov X a 0 性质3 4 8 7 Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z 性质3 4 10 课堂练习1 X与Y独立 Var X 6 Var Y 3 则Var 2X Y 27 课堂练习2 X P 2 Y N 2 4 X与Y独立 则E X Y E X Y 2 4 22 解 记 Xi 1 第i个人拿对自己的礼物 Xi 0 第i个人未拿对自己的礼物 配对模型的数学期望和方差 n个人 n件礼物 任意取 X为拿对自已礼物的人数 求E X Var X 则 因为E Xi 1 n 所以E X 1 又因为 所以E XiXj 1 n n 1 XiXj P 01 1 1 n n 1 1 n n 1 由此得 又因为 所以先计算E XiXj XiXj的分布列为 所以 3 4 4相关系数 定义3 4 2称Corr X Y 为X与Y的相关系数 若记 注意点 则 相关系数的性质 1 1 施瓦茨不等式 Cov X Y 2 Var X Var Y 相关系数的性质 2 2 1 Corr X Y 1 3 Corr X Y 1 X与Y几乎处处有线性关系 性质3 4 11 性质3 4 12 P Y aX b 1 Corr X Y 的大小反映了X与Y之间的线性关系 注意点 Corr X Y 接近于1 X与Y间正相关 Corr X Y 接近于 1 X与Y间负相关 Corr X Y 接近于0 X与Y间不相关 没有线性关系 例3 4 1设 X Y 的联合分布列为 求X Y的相关系数 解 0 同理 3 4 E Y E X 0 另一方面 1 8 1 8 1 8 1 8 0 所以 Cov X Y 即Corr X Y 0 E Y2 E X2 3 4 E XY E X E Y 0 例3 4 2 X Y p x y 求X Y的相关系数 解 7 6 5 3 所以 Var X Var Y 11 36 4 3 二维正态分布的特征数 1 X N 1 12 Y N 2 22 2 参数 为X和Y的相关系数 4 不相关与独立等价 3 4 5随机向量的数学期望与协方差阵 定义3 4 3记 称 则 为 的协方差阵 记为 或 定理3 4 2协方差阵对称 非负定 协方差阵的性质 称 注意点 为 的相关矩阵 课堂练习1 设X N 0 1 Y N 0 1 Var X Y 0 求 X Y 的协差阵 课堂练习2 设X Y的协差阵为 求相关阵R 对二维随机变量 X Y 在给定Y取某个值的条件下 X的分布 在给定X取某个值的条件下 Y的分布 3 5条件分布与条件期望 1 条件分布列 3 5 1条件分布 2 条件密度函数 3 条件分布函数 3 5 2条件数学期望 定义3 5 4 E X Y y 是y的函数 注意点 所以记g y E X Y y 进一步记g Y E X Y 重期望公式 定理3 5 1