概率论与数理统计第五章.ppt

第五章大数定律与中心极限定理 1切贝谢夫不等式 研究随机变量的离差与方差的关系 切贝谢夫不等式 用切贝谢夫不等式估计 7000 2100 2大数定律 测量多次 结果的计算平均值未必等于a 测量次数很大时 算术平均值接近于a 这种现象为平均结果的稳定性 大量随机现象中的平均结果与每一个别随机现象无关 几乎不再随机 例2测量一个长度a 一次测量 结果未必等于a 1 也称为切贝谢夫大数定律 它有如下重要的推论 大量重复试验中 事件发生的频率接近于概率 若P A 很小 则A发生的频率也很小 如P A 0 001 约在1000次试验中 A发生一次 在一次试验中认为A几乎不可能发生 这称为小概率事件的实际不可能性原理 实际应用中 对某一量a 在不变条件下重复测量n次 得到观察值x1 xn 3中心极限定理 钉板试验 研究在什么条件下 大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限 这一类定理称为中心极限定理 一般地 若某项偶然因素对总和的影响是均匀的 微小的 即没有一项起特别突出的作用 则这些大量独立偶然因素总和的随机变量近似服从正态分布 这就是如下的李雅普诺夫定理 例1一个螺丝钉重量是一个随机变量 期望值是1两 标准差是0 1两 求一盒 100个 同型号螺丝钉的重量超过10 2斤的概率 0 02275 例2对敌人的防御地段进行100次轰炸 每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量 其期望值为2 方差为1 69 求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率 0 87644 0 008158 解法二 正态分布的线性函数也是正态分布 0 5 0 008158 例4某大型商场每天接待顾客10000人 设某位顾客的消费额 元 服从 100 1000 上的均匀分布 且顾客的消费额是独立的 试求该商场的销售额在平均销售额上 下浮动不超过20000元的概率 例5计算机在进行加法时 每个加数取整数 四舍五入 设所有取整误差是相互独立的 且它们都在 0 5 0 5 上服从均匀分布 1 若将1500个数相加 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少 2 最少几个数相加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不超过90 0 18024 2 设有n个数相加 二项分布可以看成多个0 1分布之和 当n增加时 它以正态分布为极限 例610部机器独立工作 每部停机的概率为0 2 求3部机器同时停机的概率 1 直接计算 相差较大 这是因为n较小 例7每颗炮弹命中飞机的概率为0 01 求500发炮弹中命中5发的概率 n 500p 0 01 1 直接计算 0 17635 2 用局部极限定理 0 1793 3 由于n很大 p很小 也可用Poisson分布计算 P5 5 0 175467 比用正态分布更精确 正态分布与Poisson分布都是二项分布的极限分布 用Poisson分布近似计算比用正态分布精确 实际应用更多的是积分极限定理 n 10000p 0 005 0 9977 例8产品为废品的概率为p 0 005 求10000件产品中废品数不大于70的概率 例9已知一次试验中P A 0 75 分别用切贝谢夫不等式与中心极限定理计算 1 在1000次试验中 A发生的次数在700 800之间的概率 2 n取多大时 才能使n次重复独立试验中A出现的频率在0 74 0 76间的概率至少为0 9 n 1000p 0 75 用切贝谢夫不等式计算 0 925 用正态分布计算 用切贝谢夫不等式 用正态分布 例10某单位有200台电话分机 每台大约有5 时间使用外线 若各分机是否使用外线是相互独立的 问总机至少要装多少条外线才能使打外线的接通率达到90 设要装k条外线 至少要装14条外线