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2.2.3直线与平面平行的性质【选题明细表】 知识点、方法题号线面平行性质定理的理解1,2线面平行性质定理的应用3,4,5,7,8,9判定、性质综合应用6,10,11基础巩固1.若一条直线和一个平面平行,夹在直线和平面间的两条线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是(D)(A)平行(B)相交(C)异面(D)平行、相交或异面2.如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF平面ABC,则(B)(A)EF与BC相交(B)EFBC(C)EF与BC异面(D)以上均有可能解析:因为平面SBC平面ABC=BC,又因为EF平面ABC,所以EFBC.故选B.3.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,DE与AB不重合,则DE与AB的位置关系是(B)(A)异面(B)平行(C)相交(D)以上均有可能解析:因为ABC-A1B1C1为三棱柱,所以A1B1平面ABC,又平面A1B1ED平面ABC=DE,所以A1B1DE,又A1B1AB,所以DEAB.4.(2018合肥二模)若平面截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面平行的棱有(C)(A)0条(B)1条(C)2条(D)1条或2条解析:如图所示,四边形EFGH为平行四边形,则EFGH.因为EF平面BCD,GH平面BCD,所以EF平面BCD.因为EF平面ACD,平面BCD平面ACD=CD,所以EFCD,所以CD平面EFGH.同理AB平面EFGH.故选C.5.如图所示,四边形ABCD是矩形,P平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E,交DP于F.则四边形BCFE的形状为.解析:因为BC平面PAD,平面BCFE平面PAD=EF,所以EFBC,又EFAD,AD=BC,所以四边形BCFE为梯形.答案:梯形6.如图,E,F,G,H分别为空间四边形ABCD的边AB,AD,BC,CD上的点,且EFGH,求证:EFBD.证明:因为EFGH,GH平面BCD,EF平面BCD,所以EF平面BCD,又EF平面ABD,平面ABD平面BCD=BD,所以EFBD.能力提升7.在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H,点D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为(A)(A)452(B)4532(C)45(D)453解析:取AC的中点G,连接SG,BG.易知SGAC,BGAC,故AC平面SGB,所以ACSB.因为SB平面DEFH,SB平面SAB,平面SAB平面DEFH=HD,则SBHD.同理SBFE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HFDE,HF=DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又ACSB,SBHD,DEAC,所以DEHD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HFHD=(12AC)(12SB)=452.8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1 cm,过AC作平行于对角线BD1的截面,则截面面积为.解析:如图,截面ACEBD1,平面BDD1平面ACE=EF,其中F为AC与BD的交点,为BD的中点,所以E为DD1的中点,易求SACE=64 cm2.答案:64 cm29.如图,四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是四边上的点,它们共面,并且AC平面EFGH,BD平面EFGH,AC=m,BD=n,则当四边形EFGH是菱形时,AEEB=.解析:因为AC平面EFGH,所以EFAC,HGAC.所以EF=HG=BEBAm.同理,EH=FG=AEABn.因为四边形EFGH是菱形,所以BEABm=AEABn,所以AEEB=mn.答案:mn10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,CC1的中点,M在线段AB上,若DE平面A1MC,试确定点M的位置.解:当M为AB的中点时,DE平面A1MC,证明如下:取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知,O为AC1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线,所以MD12AC,OE12AC,因此MDOE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DEMO.因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M为线段AB的中点,使直线DE平面A1MC.探究创新11.如图所示,四边形EFGH为空间四面体ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.(1)求证:AB平面EFGH,CD平面EFGH;(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.(1)证明:因为四边形EFGH为平行四边形,所以EFHG.因为HG平面ABD,EF平面ABD,所以EF平面ABD.因为EF平面ABC,平面ABD平面ABC=AB,所以EFAB,所以AB平面EFGH.同理,可证CD平面EFGH.(2)解:设EF=x(0x4),由(1)知,CFCB=x4.则FG6=BFBC=BC-CFBC=1-x4.从而FG=6-32x,所以四边形EFGH的周长l=2(x+6-32x)=12-x.又0x4,则有8l12.即四边形EFGH的周长的取值范围是(8,12).
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