极限存在准则两个重要极限公式.ppt

2020年2月19日星期三 1 第六节极限存在准则两个重要极限 第一章 Existencecriterionforlimits Twoimportantlimits 二 两个重要极限 一 极限存在的两个准则 三 内容小结 2020年2月19日星期三 2 1 单调有界准则 数列 单调增加 单调减少 准则I单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限 单调下降有下界数列必有极限 说明 1 在收敛数列的性质中曾证明 收敛的数列一定有界 但有界的数列不一定收敛 2 利用准则 来判定数列收敛必须同时满足数列单调和有界这两个条件 2020年2月19日星期三 3 3 准则 只能判定数列极限的存在性 而未给出求极限的方法 例如 数列 虽然有界但不单调 虽然是单调的 但其无界 易知 这两数列均发散 数列 4 对于准则I 函数极限根据自变量的不同变化过程 也有类似的 准则 只是准则形式上略有不同 例如 准则I 设函数 在点 的某个左邻域内单调 在 的左极限 必存在 并且有界 则 2020年2月19日星期三 4 作为准则 的应用 我们讨论一个重要极限 首先 证 是单调的 所以 数列 是单调增加的 2020年2月19日星期三 5 显然 单调性的证明可证得数列 是单调增加的 设数列 由于数列 是单调增加的 所以数列 是单调减少的 又 其次 证 有界 类似于 则 则 综上 根据极限存在准则 可知 数列是 收敛的 2020年2月19日星期三 6 通常用字母 来表示这个极限 即 也可以证明 当 取实数而趋于 或 时 函数 的极限都存在且都等于 即 利用变量代换 可得更一般的形式 2020年2月19日星期三 7 例1 解 例2求 解 2020年2月19日星期三 8 2 夹逼准则 准则II 证 由条件 2 当 时 当 时 令 则当 时 有 由条件 1 即 故 2020年2月19日星期三 9 我们可将准则II推广到函数的情形 准则II 且 注意 准则II和准则II 统称为夹逼准则 的极限是容易求的 与 并且 与 关键是构造出 利用夹逼准则求极限 2020年2月19日星期三 10 例3 解 由夹逼准则得 2020年2月19日星期三 11 解 利用夹逼准则 且 由 思考题 1 2 1 1 lim 2 2 2 p p p n n n n n n L 2020年2月19日星期三 12 夹逼准则不仅说明了极限存在 而且给出了求极限的 方法 下面利用它证明另一个重要的 圆扇形AOB的面积 证 当 即 亦即 时 显然有 AOB的面积 AOD的面积 故有 注 极限公式 2020年2月19日星期三 13 当 时 注 2020年2月19日星期三 14 例4求 解 例5求 课本例7 解 令 则 因此 原式 注 利用变量代换 可得更一般的形式 2020年2月19日星期三 15 例6求 课本例5 解 例7求 补充题 解 2020年2月19日星期三 16 内容小结 1 极限存在的两个准则 夹逼准则 单调有界准则 2 两个重要极限 或 2020年2月19日星期三 17 课后练习 习题1 61 2 4 2 2 4 6 3 3 思考与练习 1 填空题 1 4 2020年2月19日星期三 18 解 原式 2 求 2020年2月19日星期三 19 3 证明 证明 对任一 有 则当 时 有 于是 1 当 时 由夹逼准则得 2 当 时 同样有 2020年2月19日星期三 20 故极限存在 4 设 且 求 解 设 则由递推公式有 数列单调递减有下界 故 利用极限存在准则 2020年2月19日星期三 21 证 显然 证明下述数列有极限 即 单调增 又 存在 拆项相消 法 5 设