2019-2020年新人教A版高中数学（必修1）3.2《函数模型及其应用》word教案2篇.doc

2019-2020年新人教A版高中数学（必修1）3.2函数模型及其应用word教案2篇教学目标：知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用教学重点：重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题教学程序与环节设计：创设情境组织探究探索研究巩固反思作业回馈课外活动实际问题引入，激发学生兴趣选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤强化基本方法，规范基本格式收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动创设情境材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气师：指出：一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的组织探究 例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？探究：1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？2）分析解答（略）3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？师：创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强生：阅读题目，理解题意，思考探究问题师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流师：引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等环节教学内容设计师生双边互动组织探究4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？师：引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势生：对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%现有三个奖励模型： 问：其中哪个模型能符合公司的要求？探究：1） 本例涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异师：引导学生分析问题使学生得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择环节呈现教学材料师生互动设计组织探究3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答生：分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合要求师：引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答探究与发现幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告师：引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析生：仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结，形成结论性报告师：对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示巩固与反思尝试练习：1） 教材P116练习1、2；2） 教材P119练习小结与反思：通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美生：通过尝试练习进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用师：培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用美环节呈现教学材料师生互动设计作业与回馈教材P127习题32（A组）第15题；（B组）第1题课外活动收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用；有时同一个实际问题可以建立多个函数模型具体应用函数模型时，你认为应该怎样选用合理的函数模型？第10课时 函数模型及其应用基础过关 1抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；2建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示是：实际问题函数模型抽象概括实际问题的解函数模型的解还原说明运用函数的性质典型例题例1. 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（ba）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.解： 设四边形EFGH的面积为S，则SAEH=SCFG=x2,SBEF=SDGH=（a-x）（b-x），S=ab-22+（a-x）（b-x）=-2x2+（a+b）x=-2（x-2+由图形知函数的定义域为x|0xb.又0ba,0b,若b,即a3b时，则当x=时，S有最大值;若b,即a3b时，S（x）在（0,b上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为-2(b-)2+=ab-b2,综上可知，当a3b时，x=时，四边形面积Smax=,当a3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值. 解：设每个提价为x元（x0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，进货总额为8（100-10x）元，显然100-10x0,即x10,则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0x10).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.例2. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.解：（1）由图象可知：当t=4时，v=34=12,s=412=24.（2）当0t10时，s=t3t=t2，当10t20时，s=1030+30（t-10）=30t-150；当20t35时，s=1030+1030+(t-20)30-(t-20)2(t-20)=-t2+70t-550.综上可知s=(3)t0，10时，smax=102=150650.t（10，20时，smax=3020-150=450650.当t（20，35时，令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40,20t35,t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-（万元）(0x5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？解：（1）当x5时，产品能售出x百台；当x5时，只能售出5百台，故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）= (2)当0x5时，L（x）=4.75x-0.5，当x=4.75时，L(x)max=10.781 25万元.当x5时，L（x）=12-0.25x为减函数，此时L（x）10.75(万元）.生产475台时利润最大.（3）由得x4.75-=0.1(百台）或x48(百台).产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x4，乙的用水量也不超过4吨，y=（5x+3x）1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x4且5x4,y=41.8+3x1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨时，即3x4,y=81.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当x0，时,yf（）26.4;当x（，时，yf（）26.4;当x（,+）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=41.8+3.53=17.70（元);乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=41.8+0.53=8.70（元).变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在xx年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 2解：（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，(1+x)40=2， 两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，则lg（1+x）=0.007 525，1+x1.017，得x=1.7%. （2）依题意，y12.48（1+1%）10，得lgylg12.48+10lg1.01=1.139 2,y13.78，故人口至多有13.78亿. 答 每年人口平均增长率为1.7%，xx年人口至多有13.78亿. 小结归纳解决函数应用问题应着重注意以下几点：1阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.4还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.