2019-2020年苏教版高中数学（选修2-2）2.3《数学归纳法》word教案5篇.doc

2019-2020年苏教版高中数学（选修2-2）2.3数学归纳法word教案5篇一、教学目标知识与技能：（1）体会归纳推理这种基本的分析问题法，并把它们用于对问题的发现中去。 （2）明确归纳推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。 过程与方法： （1）通过歌德巴赫猜想引入课题，激发学生的学习积极 （2）通过师生合作做实验的过程，让学生体会数学的严谨性； （3）通过生活中的实例，让学生体会归纳推理的思想方法。情感态度与价值观： 正确认识归纳推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。二、教学重点：理解归纳推理的思维过程与一般形式。三、教学难点：运用归纳推理得到一般性的结论。四、教学方法与手段：多媒体演示，互动实验。五、教学过程：情景一：歌德巴赫猜想问题1：同学们，你们有没有听说过一个世纪难题，歌德巴赫猜想，简称“1+1”？ _问题2：你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗 _问题3：你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的？ 1742年，歌德巴赫在教学中发现： 4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11， 18=5+13=7+11， 20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11， 由此，他猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称“1+1”），可是他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的“每一个充分大的偶数都能够表示为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”（简称“1+2”），这一结论十分接近歌德巴赫猜想的解，被国际上称为“陈氏定理”。情景二：多面体的欧拉公式 虽然，歌德巴赫的猜想还不能证明，但他的这种猜想方法在定理发现中很有用。大数学家欧拉，也是通过观察一些简单的多面体，然后发现多面体的欧拉公式的。 下面请同学们数一数下列图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后一起把表格填完整。多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔问题4：欧拉从中发现了公式，你们发现了吗？ _ 情景三：生活中的猜想人们发现，只要有一年冬季下了大雪，那么第二年庄稼就会获得丰收，而没有发现相反情况，于是，人们作出了一个猜想：“瑞雪兆丰年”。这样的猜想生活中还有很多，例如每次下大雨之前，都有蚂蚁搬家的现象，于是，我们就据此作出一个猜想：“凡蚂蚁搬家，天必下雨”问题5：在上面几个例子中，大家有没有发现它们有什么共同的特点？ 它们都是从个别事实中推演出一般的结论，像这样的推理通常称为归纳推理，简称归纳法。归纳推理的思维过程大致如下：猜测一般性的结论概括、推广实验、观察 归纳推理的一般模式为： S1具有P， S2具有P， Sn具有P（S1，S2，Sn是A类事实的对象） 所以，A类事物都具有P。互动实验： 道具：两袋玻璃棋子（其中一袋都是黑的；一袋中除一个黑的外其余都是白的） 过程：请两个学生上台摸袋中的棋子，一次摸一个，摸了三次后，请他们作出一个归纳推理。 目的：说明归纳推理得到的结论不都是正确的。问题6：为什么上面的实验可能会得到不正确的结论？ 因为没有全部摸出来，只检查了几个，就得出结论了。 像这样只从几个个别事例就推出结论的归纳法称为不完全归纳法； 如果把全部情况都列举出来的归纳法称为完全归纳法。 完全归纳法考察的是某类事物的全部对象，所以它的结论一定是正确的。但它的运用是有局限性的。如果某类事物的个别对象是无限的(如天体、原子)或者事实上是无法一一考察穷尽的，它就不能适用了。这时就只能运用不完全归纳推理了。例如检查一个大型生产厂的产品合格率。课堂研学：“汉诺塔”问题如图有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。 、每次只能移动1个金属片；、较大的金属片不能放在较小的金属片上面。试推测：把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?231课堂练习：（1）已知数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出的值。（2）已知：，。观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。课堂总结：问题7：通过以上学习，归纳推理具有什么特点？ （1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。 （2）由归纳得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。因此，它不能作为数学证明的工具。 （3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。数学归纳法(1)一、教学目标：1了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2掌握数学归纳法证明问题的方法3能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。二、教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。三、教学过程：【创设情境】1华罗庚的“摸球实验”。 2“多米诺骨牌实验”。问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。【探索研究】1数学归纳法的本质：无穷的归纳有限的演绎（递推关系）2数学归纳法公理：（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。【例题评析】例1：以知数列an的公差为d，求证：说明：归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。 数学归纳法证明的基本形式；（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。EX: 1.判断下列推证是否正确。 P88 2,32. 用数学归纳法证明例2：用数学归纳法证明(nN,n2)说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。EX:1.用数学归纳法证明:(1)当n=1时,左边有_项,右边有_项；(2)当n=k时,左边有_项,右边有_项；(3)当n=k+1时,左边有_项,右边有_项；(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同? 变题: 用数学归纳法证明 (nN+)例3：设f(n)=1+,求证n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n) (nN,n2)说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。【课堂小结1数学归纳法公理：（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。2. 注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.【反馈练习】1用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证( )A n=1B n=2 C n=3D n=42用数学归纳法证明第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是( )A. B C D 3若n为大于1的自然数，求证 证明 (1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即4用数学归纳法证明 【课外作业】 课标检测数学归纳法(2)一、教学目标：1了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3能通过“归纳-猜想-证明”处理问题二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。难点：归纳猜想证明。三、教学过程：【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？ 以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；（2）递推归纳：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。 数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。【探索研究】问题：用数学归纳法证明：能被9整除。法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。说明：归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。 注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。【例题评析】例1：求证: 能被整除（nN+）。例2：数列an中，,a1=1且（1）求的值；（2）猜想an的通项公式，并证明你的猜想。说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳猜想证明变题：（2002全国理科）设数列an满足，nN+, (1)当a1=2时，求，并猜想an的一个通项公式； （2）当a13时，证明对所有的n1,有 ann+2 例3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。例4：设函数f(x)是满足不等式,(kN+)的自然数x的个数；（）求f(x)的解析式；（）记Sn=f(1)+f(2)+f(n),求Sn的解析式；（）令n=n2+n-1 (nN+),试比较n与n的大小。【课堂小结】1.猜归法是发现与论证的完美结合数学归纳法证明正整数问题的一般方法：归纳猜想证明。2.两个注意： （1）是否用了归纳假设？ （2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？【反馈练习】1 观察下列式子 则可归纳出_ (nN*)1用数学归纳法证明 2已知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明。3.是否存在常数a、b、c，使等式对一切都成立？并证明你的结论.【课外作业】 课标检测数学归纳法的应用数学归纳法是高中数学中一种重要的数学方法，常常以观察、试验、类比、联想、归纳提出合理的科学猜想，通过数学归纳法的证明可以保证猜想的合理性与正确性广泛的用来证明等式、不等式、整除性问题等与自然数有关的命题下面举例说明数学归纳法的几种应用一、等式问题例1已知，求证：证明：（1）当时，等式左边，右边，等式成立（2）假设当时，命题成立即则当时，。当时，等式成立综上，由（1）和（2）可知，对于任何，等式成立评注：本题在证明过程中突出了一个凑字，即“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系二、不等式问题例2求证：证明：（1）当n=2时，左边，不等式成立（2）假设当时命题成立，即则当时，所以当时不等式也成立由（1）和（2）可知，原不等式对一切，均成立评注：本题在由到时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一三、整除性问题例3利用数学归纳法证明能被9整除证明：（1）当n=1时，（311）112，能被9整除，所以命题成立（2）假设当时命题成立，即能被9整除那么当时，由归纳假设知，能被9整除，而也能被9整除，故能被9整除这就是说，当时，命题也成立由（1）和（2）可知，对一切，都能被9整除评注：涉及整除问题，常利用提取公因式凑成假设、凑出整除式等方法，其中等价变换的技巧性较强归纳 猜想 证明“归纳猜想证明”是一种重要的思维模式，也是数学归纳法应用的重点题型解这类问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明其中解题的关键在于正确的归纳猜想，下面举例说明例1是否存在常数a、b、c，使得等式对一切成立？并证明你的结论分析：可先进行计算，找到a、b、c的值，再归纳猜想，最后证明解：假设存在常数a、b、c使上式对均成立，则当时上式显然也成立，此时可得，解此方程组，可得下面用数学归纳法证明等式对一切均成立当时，命题显然成立假设时，命题成立即，那么当时，即当时，命题成立综上所述，存在常数，使得等式对一切均成立例2数列满足，前n项和，求数列的通项公式分析：该题未给出猜想信息，可先创造条件得出结论，再证明解：，由变形整理，得，取正根，得，由及，得，变形整理，得，取正根，得同理，求得由此猜想下面用数学归纳法证明：（1）当时，上面已求出，结论成立 （2）假设当，时，结论成立，即那么当时，整理，得，取正根，得，故时，结论成立 由（1）和（2），可知对任何，成立例3已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的都满足：，若，求证：分析：用归纳的思想方法，通过赋值、计算、猜想、证明四步完成证明：对任意都成立，对于当时，；当时，；当时，；，猜想（）下面用数学归纳法证明：（1）当时，（）式成立（2）假设时，（）式成立，即，当时，时，（）式成立 由（1）和（2），可知对任何，成立所以要证明结论成立，只需证明，成立斐波那契级数1，1，2，3，5，8，13，21，34，在这些数中，从第3项开始，每一个数都是它前面的两个数的和，例如，等等，这就是著名的斐波那契级数斐波那契级数出现在意大利数学家斐波那契（Fibonacci，11741250）在1202年所著的算盘书中书中是这样提出问题的：如果每对兔子每月能繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，第三个月就生产一对兔子，以后每个月生产一对，假定每对兔子都是一雌一雄试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？由这个问题得出的序列就是上面列出的序列出人意料的是，这个序列在许多场合都出现因此，我们需要对它作些探讨序列中的每一个数叫做斐波那契数若第n个斐波那契数记为，则我们有，这个序列有下面的递推关系 斐波那契数的通项公式是这个公式是法国数学家比内（Binet）求出的我们用数学归纳法证明它斐波那契级数的构造法告诉我们，从第3项开始，它的每一项都是前两项之和，并且只有在给定了开头的两项之后，整个级数才能确定所以在使用数学归纳法证明公式时，需要对数学归纳法的基本程序作变动：（1）公式对，这两种情况都正确；（2）假定公式对一切都成立，证明它对也正确证明：（1）为了下面的证明，我们需要算出类似地，从而，（2）当时，（3）当时，这就证明了当和时公式是正确的（4）设n是任意自然数，并假定公式对一切都成立，证明它对正确根据斐波那契数的定义，我们有由，得，原命题得证斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合在花的花瓣中存在斐波那契模式几乎所有的花，其花瓣都是斐波那契数例如百合花的花瓣有3瓣；梅花有5瓣；许多翠雀属植物有8瓣；万寿菊的花有13瓣；紫菀属的植物有21瓣；大多数雏菊有34、55、89瓣在向日葵的花盘内葵花子的螺旋模式中也可以发现斐波那契级数数学归纳法证明的几种常用方法用数学归纳法证明一个与自然数n有关的命题时，第二步是十分关键的步骤怎样才能从顺利地过渡到呢？下面介绍几种常用方法一、恰当放缩例已知n是大于1的自然数，求证：分析：由已知可看到的形式很繁锁，并且要证结论为不等式，则可联想不等式的性质对其适当放缩，从而证得原命题证明：（1）当时，所以不等式成立（2）假设当（，且）时，成立，则当时，有。所以当时原不等式也成立由（1）和（2），可知原不等式对任何大于1的自然数n都成立二、起点后移例2已知，求证：分析：可结合不等式关系：来证明，但注意要将奠基的起点后移，即在第一步证明中，不仅要证明时原不等式成立，还要证明当时，原不等式也成立证明：（1）当时，原不等式显然成立当时，不等式左边，右边，则左边右边，当时，原不等式成立 （2）假设当时，成立，则时，所以当时原不等式也成立由（1）和（2），可知原不等式对任何都成立三、增加跨度例3试证：任何一个正方形都可以分割成5个以上的任意多个正方形分析：一个正方形分割成4个正方形是很容易的由此猜想：若能把一个正方形分割成k个正方形，则必能分割成个正方形故第一步应对的情形加以验证第二步，则只需从k递推到k+3证明：（1）当时，由以下各图所示的分割方法知，命题成立（2）假设当时命题成立，即一个正方形必能分割成k个正方形那么，只要把其中任意一个正方形两组对边的中点分别连结起来，即把该正方形再分割成4个小正方形，则正方形的个数就增加了3个因而原正方形就分割成了个正方形，即当时命题也成立因为任何一个大于5的自然数n都可以表示成中的一种形式，所以根据（1）和（2），可知命题对任何大于5的自然数n都成立四、强化命题例4已知，定义，且试证明：对一切，都有分析：显然有，但若假设，则很难由递推公式推得为此，必须知道小于什么数值才行其实，要使，即，只须所以本题可转化为证明如下更强的不等式证明：（1）当时，显然有又因为，所以 （2）假设当时，成立，则有，所以，即当时不等式也成立由（1）和（2），可知对任何，不等式都成立，从而原命题获证注意：除了上述四种常用方法外，还有拆项添项、作差（作商）等方法同学们在证明过程中，要结合题目特点，灵活运用苏教选修（2-2）2.3数学归纳法导学一、数学归纳法的原理及其概念如果（1）当n取第一个值（例如等）时结论正确；（2）假设当（，且）时结论正确，证明当时结论也正确；那么，命题对于从开始的所有正整数n都成立这就是数学归纳法公理，它是证明与自然数有关的命题的依据补充说明：（1）数学归纳法适用于与正整数有关的问题，常用来证明用不完全归纳得到的结论要有强烈的数学归纳法与正整数之间的对应意识，做到看到有关正整数的证明问题，马上想到是否可以用数学归纳法来证明 （2）“数学归纳法”与“归纳法”不同，“归纳法”是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，而“数学归纳法”是一种有关正整数问题的证明方法“归纳法”通常可分为完全归纳法和不完全归纳法，其中完全归纳法的结论是正确的，而不完全归纳法得出的结论则不一定正确而用“数学归纳法”证明的结论必是正确的二、用数学归纳法证题的两个步骤及其作用 数学归纳法的定义即是证题的步骤，在证明过程中必须按步骤进行其中，第一步是奠基步骤，是论证命题成立的基础保证，也称为归纳基础（又称特殊性）；第二步是递推步骤，是解决命题具有后继传递性的保证（又称延续性），即只要命题对于某个正整数成立，就能保证该命题对于后续正整数都成立这两个步骤相辅相成，缺一不可三、证明中应注意的几个问题1数学归纳法第一步中的“第一个数”不一定就是“1”，也可能是“2”或其它数，要根据题意准确选择2注意n与k的不同，理解和书写时不要弄混3第二步中要准确把握由到时，要证明的结论中到底需要添加（或舍去）哪些项，如用数学归纳法证明某数列问题时，当时有，则nk1时有k+1=+，不要弄错4在证明第二步命题成立时，必须使用归纳假设，否则就不是数学归纳法在初学数学归纳法时常易犯不用归纳假设，而直接运用相关公式（如数列的有关公式）的错误，需特别注意应通过例题和习题体会和练习怎样使用归纳假设，通过错例分析体会怎样避免不用归纳假设的情况5数学归纳法的关键在第二步，要能真正地证明结论正确才行，切忌证不出而直接说结论成立证明过程可以用综合法，也可以用分析法或其它方法为证n=k+1时结论成立，对条件和结论进行各种各样的恒等变形是必要的和必须的，常见变形技巧有提公因式、配方（可参阅课本）、恰当放缩、起点后移、增加跨度、强化命题、添项拆项等（可参阅第四版文章帮你顺利“过渡”）另外，不妨先把时的结论写出来，为证明提供方向6数学归纳法中的两步缺一不可，否则结论不能成立只有第一步，只能证明特殊情况，无法延续；只有第二步，没有奠基，可能会推出错误的结论