《集合的含义与表示》PPT课件.ppt

第一章集合与函数概念 李世明 函数是高中数学的重要内容之一 函数的基础知识在现实生活 社会 经济及其他学科中有着广泛的应用 函数与代数式 方程 不等式等内容联系非常密切 函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域 是进一步学习数学的重要基础 函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体表现 现实世界中的许多运动变化现象都表现出变量之间的依赖关系 数学上 我们用函数模型描述这种依赖关系 并通过研究函数的性质了解它们的变化规律 集合是现代数学的基本语言 可以简洁 准确地表达数学内容 在本章 我们将学习集合的一些基本知识 用集合语言表示有关数学对象 并运用集合和对应的语言进一步描述函数概念 感受建立函数模型的过程和方法 初步运用函数思想理解和处理生活 社会中的简单问题 1 1 1集合的含义与表示 一 引言 物以类聚 人以群分 数学中也有类似的分类 1 在初中我们学过 代数 自然数的集合 有理数的集合 不等式的解集等 2 在初中 我们用集合描述过 圆的概念 线段的垂直平分线是用集合描述的 几何 点的集合等 补充示例 1 1 20以内的所有质数 2 我国从1991 2005年的15年内所发射的所有人造卫星 3 金星汽车厂2003年生产的所有汽车 4 2004年1月1日之前与我国建立立外交关系的所有国家 5 所有的正方形 6 到直线l的距离等于定长3cm的所有点 7 方程x2 3x 2 0的所有实数解 8 华侨中学2005年9月入学的所有高一学生 归纳总结这些例子 你能说出它们的特征吗 说明 1 集合是一个原始的 不加定义的概念 我们不能用其他的概念下定义 只能作描述性说明 如同点 直线 平面等也都是不加定义的原始概念 构成了整个数学大厦的基石 要形象地理解 而不必记忆 二 集合的描述性定义 把研究对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合 简称为集 3 集合理论是由德国数学家康托尔发现的 他创造的集合论是近代许多数学分支的基础 2 集合是一个整体 已暗含 所有 全部 全体 的含义 因此一些对象一旦组成了集合 那么这个集合就是这些对象的全体 而非个别对象 1 确定性 对于一个给定的集合 任何一个元素是不是这个集合的元素就确定了 三 集合的特征 思考 我国的小河流 比较大的数 好心的人 等能组成集合吗 如 应把集合 1 2 2 改写成 2 互异性 对于一个给定的集合中 任何两个元素都是不同的对象 相同的对象归入一个集合时 仅算一个元素 3 无序性 集合中的元素是平等的 没有先后顺序 因此判定两个集合是否一样 仅需比较它们的元素是否一样 不需考查排列顺序是否一样 如 集合 1 2 3 和 1 3 2 表示同一集合 1 2 说明 1 确定性是判定元素能否构成集合的唯一标准 2 元素中含参数的集合运算题 最终结果务必检验元素的互异性 利用互异性将不适合题意的参数值舍掉 3 在利用两集合相等进行有关计算时 常常根据集合中元素的无序性进行分类讨论 最终仍然莫忘对元素互异性的检验 四 元素与集合之间的关系 若a是集合A的元素 若a不是集合A的元素 例如 A 1 2 3 4 5 则3 A 就说a属于集合A 记作a A 则a不属于集合A 记作a A 集合常用大写字母A B C D 标记 元素常用小写字母a b c d 标记 集合的相等 构成两个集合的元素完全一样 五 常用数集及其记法 数的集合简称数集 注意 自然数集包括0 一些常用数集及其记法 非负整数集 即自然数集 记作 正整数集记作 整数集记作 有理数集记作 实数集记作 N N 或N Z Q R 六 集合的常用表示方法 方法一 列举法 把集合中的元素一一列举出来 写在花括号 内表示集合的方法 地球上的四大洋 组成的集合可以表示为 太平洋 大西洋 印度洋 北冰洋 方程x2 x 0的所有实数解组成的集合可以表示为 0 1 用列举法表示集合应注意以下五点 1 元素间用分隔号 2 元素不重复 3 元素无顺序 4 元素不能遗漏 5 列举法可表示有限集 也可以表示无限集 若元素个数比较少用列举法比较简单 若集合中元素个数较多或无限 但出现一定的规律性 在不发生误解的情况下 也可以用列举法表示 如正整数集合可表示为 1 2 3 4 例1 用列举法表示下列集合 1 小于10的所有质数组成的集合 2 由大于3小于10的整数组成的集合 3 方程x2 16 0的实数解组成的集合 2 3 5 7 4 5 6 7 8 9 4 4 思考 1 你能用自然语言描述集合 2 4 6 8 吗 2 你能用列举法表示不等式x 7 3的解集吗 不能 方法二 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 语言描述法 例 x x是正方形 x x是地球上的四大洋 不等式x 7 3的解集不能用列举法表示 想想它的元素有怎样的特征 x R且x 10 我们把这个集合表示为 A x R x 10 再如 所有奇数组成的集合可以表示为 B x Z x 2k 1 k Z 数学式子描述法 具体方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 描述法的一般形式是 x A P x 其中 x 是集合中元素的代表形式 A是x的范围 P x 是集合中元素x的共同特征 竖线不可省略 用描述法表示集合应注意以下六点 1 写清楚该集合中元素的代号 字母或用字母表达的元素符号 2 说明该集合中元素的性质 3 不能出现未被说明的字母 4 多层描述时 应当准确使用 且 或 5 所有描述的内容都要写在集合符号内 6 用于描述条件的语句力求简明 准确 例2 用描述法表示下列集合 1 小于10的所有有理数组成的集合 2 所有偶数组成的集合 3 直角坐标系内 第二象限内的点组成的集合 x Q x 10 x x 2n n Z x y x0 说明 如果从上下文的关系来看 x R x Z等是明确的 那么x R x Z可以省略 只写其元素x 如 不等式x 7 3的解集可以表示为A x x 10 所有奇数组成的集合可以表示为 B x x 2k 1 k Z 0 1 说明 列举法和描述法是集合的常用表示方法 两种方法各有优点 用什么方法表示集合 要具体问题具体分析 要注意 一般集合中元素较多或有无限个元素时 不宜采用列举法 强调 如集合 x y y x2 3x 2 与 y y x2 3x 2 相同吗 2 只要不引起误解 集合的代表元素也可省略 不同 例如 整数 即代表整数集Z 1 描述法表示集合应注意集合的代表元素 辨析 下面写法正确吗 全体整数 实数集 R 高一级全体学生 这里的 已包含 所有 的意思 所以不能写成上面的形式 3 在集合的书写形式上 要注意规范性 4 在没有指定集合的表示方法时 能明确表示集合的要明确表示出来 如关于x的方程x a 0的解集应写成 a 而不是a 如所有小于20的既是奇数又是素数的数组成的集合表示为 3 5 7 11 13 17 19 更为明确 又如非负奇数组成的集合表示为 x x 2n 1 n N 更为恰当 这一点需要注意 5 集合的分类 含有无限个元素的集合叫做无限集 含有有限个元素的集合叫做有限集 解集合题时 一定要弄清集合是由哪些元素所构成的 尤其在集合这一部分有两类集合极易混淆 即数集与点集 用描述法表示数集时 其格式为 x P x 在竖线前面是一个字母 而表示点集时 其格式为 x y P x y 在竖线前面是一个有序数对 用列举法表示数集时 集合中的元素是单个的数字 表示点集时 集合中的元素是有序数对 在处理与数集或点集有关的集合问题时 一定要先看集合中元素的格式是数还是有序数对 一些常见集合的表示 1 方程的解集 x f x 0 f x 是关于x的代数式 2 不等式的解集 例如不等式x 3 0的解集为 x x 3 3 函数自变量构成的集合 例如函数y x2 1的自变量构成的集合为 x y x2 1 4 函数因变量构成的集合 例如函数y x2 1的因变量构成的集合为 y y x2 1 一些常见集合的表示 5 函数图象上的点构成的集合 例如函数y x2 1图象上的点的集合可表示为 x y y x2 1 6 多元方程 组 的解集 例如二元方程组的解集可表示为 三元一次方程x y z 2的解集可表示为 x y z x y z 2 补充例题 题型一 集合中元素的互异性与无序性 检验 题型二 利用集合中元素个数求参数取值范围 例1 用列举法表示下列集合 1 A x y x2 y 1 x 2 x Z A 2 3 1 0 0 1 1 0 2 3 题型三 集合的表示方法 2 B x y x y 4 x N y N B 1 3 2 2 3 1 C 2 1 0 1 2 D 1 2 例3 用描述法表示图中阴影部分 含边界 的点的坐标的集合 例4 集合M的元素为自然数 且满足 如果x M 则8 x M 1 写出只有一个元素的集合M 2 写出只含有两个元素的所有集合M 3 满足题设条件的集合M共有多少个 解 1 当M中只有一个元素时 根据已知必须满足x 8 x x 4 含一个元素的集合M 4 2 当M中只含有两个元素时 其元素只能是x和8 x M中的元素为自然数 含两个元素的集合M应为 0 8 1 7 2 6 3 5 3 满足条件的M是由集合 4 0 8 1 7 2 6 3 5 中的一个或几个构成的 共有5 10 10 5 1 31个 补充作业