误差原理第一章基本概念.ppt

人类为了认识自然与改造自然 需要不断地对自然界的各种现象进行测量和研究 由于实验方法和实验设备的不完善 周围环境的影响 以及受人们认识能力所限等 测量和实验所得数据与被测量的真值之间 不可避免地存在着差异 这在数值上表现为误差 随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断提高 虽可将误差控制得越来起小 但终究不能完全消除它 误差存在的必然性和普遍性 已为大量实践所证明 为了充分认识并进而减小或消除误差 必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进行研究 第一章基本概念 一 意义 研究误差的意义 1 正确认识误差的性质 分析误差产生的原因 以消除或减小误差 2 正确处理测量和实验数据 合理计算所得结果 以便在一定条件下得到更接近于真值的数据 3 正确组织实验过程 合理设计仪器或选用仪器和测量方法 以便在最经济的条件下 得到理想的结果 二 基本概念 测量是研究误差的前提 研究误差的目的就是设法评价测量结果的可信程度 测量的定义测量就是人们借助专门设备 通过实验的方法 对客观事物取得测量结果的认识过程 三种形式 带有单位的数值 在固定坐标系中给出的曲线 按一定比例给出的图形 根据实际需要 测量结果不外乎下面三种形式 1 带有单位的数值 2 在固定的坐标系中给出曲线 3 按一定的比例给出的图形 以上任一形式的测量结果都可以用下式表示 测量结果 数值 被测量与标准的比值 单位 量纲 二 测量方法的分类 1 按对测量结果精确度要求的不同 可把测量分为 1 工程测量工程测量是一般工作中所进行的测量 对测量结果只要求取得测量值就能满足对测量的要求 不需要考虑测量误差的大小或估计测量值的可信程度 2 精密测量凡是经过测量取得测量结果后 还要求估计出测量结果的误差确切值 则为精确测量 2 根据取得测量结果的方法不同 可把测量分为 1 直接测量把被测量与作为测量标准的量直接进行比较 或用预先按标准校对好的测量仪器对被测量进行测量 通过测量能直接得到被测量数量大小的测量结果 称此为直接测量 例如 用米尺测量桌子的长度 2 间接测量被测量不能直接用测量的方法得到 而必须通过一个或多个直接测量值 利用一定的函数关系运算才能得到 此种测量称为间接测量 例如 测物体的运动速率 牛顿测风速 精密测量得到的测量结果精度较高 但它所用的测量设备精度也高 测量设备对其工作环境的要求也比较严格 因此所付出的代价也大 工程测量得到的测量结果精度较低 所用的测量设备简单 价格便宜 操作也比较简便 故所付出的代价也比较小 间接测量可以用下面的一般公式来表示 即 3 组合测量被测量不能通过直接测量或者间接测量得到 而必须通过直接测量的测量值或者间接测量的测量值建立联立方程组 才能得到最后的测量结果 这样的测量称为组合测量 3 根据测量条件不同 把测量分为 1 等精度测量对某一固定被测量进行重复测量 所取得的测量数据可以认为是在相同的测量精度条件下得到的 这种测量称为等精度测量 2 不等精度测量对一被测量进行测量得到的数据 其精度可以判定是不等的 这种测量称为不等精度测量 1 3误差 error 的基本概念 一 误差的定义及表示方法 所谓误差就是测量值与被测量的真值之间的的差 可表示为误差 测量值 真值 1 绝对误差误差定义为该量的给出值与其客观真值之差 真值在某一时刻或某一位置状态下 某量本身体现出的客观值或实际值 误差 给出值 真值 由于误差与给出值有相同的量纲 故该误差又称为绝对误差 实际值满足规定准确度的用来代替真值使用的量值 2 相对误差相对误差 误差 真值 3 引用误差仪器示值的绝对误差与测量范围上限值或者量程之比值 以百分数表示 真值在某一时刻和某一位置或状态下 某量本身体现出的客观值或实际值 一般说来 真值是未知的 因此误差也就未知 但绝不意味真值一定不知道 有些情况下真值是可以知道的 又有些情况下从相对的意义上来说也是知道的 真值可知的情况有如下几种 理论真值例如 平面三角形三内角之和恒为180 同一量值自身之差为零 而自身之比为1 理想电容和电感上 其电压与电流的相位差为90 此外 还有理论设计值和理论公式表达式等等 计量学约定真值国际计量大会决议 例如 A 长度单位 米是光在真空中 在1 299792458s的时间间隔内行程的长度 B 质量单位 保存在法国巴黎国际计量局的铂 铱合金圆柱体的质量是1kg c 时间单位 铯 133原子处于特定的状态 原子基态的两个超精细能级之间的跃迁 时 辐射出9192631770个周期的电磁波 它所持续的时间为1s 满足以上条件复现出的量值都是真值 2 误差的特点 普遍性 所有的测量数据都存在误差 不可避免的 最高基准的测量传递手段 测量仪器 测量方法 不绝对准确 米制 建议 18世纪末法国科学院 米 定义 1791年法国国会 通过巴黎的地球子午线长度的四千分之一 铂杆 档案尺 1799年 两端之间的距离 第一个实物基准 长度 档案尺 变形 较大误差 废弃 1872年米制国际会议 铂铱合金的X形尺 米原器 1889年第一次国际计量大会 中性面上两端的二条刻线在0 C时的长度 1 2 10 7 复现精度 自然基准 1960年第十一次国际计量大会 废弃米原器 Kr 86的2p10 5d5能级间跃迁在真空中的辐射波长的1650763 73倍 0 5 1 10 8 复现精度 米 新定义 1983年第十七届国际计量大会 光在真空中1s时间内传播距离的1 299792485 1 3 10 10 复现精度 减小误差的影响 提高测量精度 测量精度 测量技术水平的主要标志之一 精度提高受到限制 测量误差的影响作出评定 对测量结果的可靠性给出评定 精确度的估计 标准器相对真值高一级标准器的误差与低一级标准器或普通计量仪器的误差相比 为其1 5 或1 3 1 20 时 则可以认为前者是后者的相对真值 由此引出一个实际值的概念 实际值满足规定准确度的用来代替真值使用的量值 例1 1测得某平面三角块的三内角之和为180 00 03 则该内角之和的误差为 3 例1 2今用一普通压力计测量某压力 得其值为97 968MPa 用更准确的方法测得值为98 168MPa 则普通压力计测得值的误差为 0 20MPa 所以 误差这个量值已成为评定测量过程或汁量仪器的准确度不可缺少的尺度 引进一个新的定义修正值 误差 真值 结出值真值 给出值 修正值 给出值 误差这说明 含有误差的给出值加上修正值后就可消除误差的影响 而加上修正值的作用如同扣除误差的作用一样 这非常符合人们的逻辑思维过程 相对误差例1 3用尺子测量100m的准确距离 得值101m 则误差为lm 又用钢尺测量准确距离为1000m的长度 得值1001m 则误差亦为1m 从误差的绝对值来说 它们都一样 但是由于所测距离的不同 它们的准确程度是不一样的 前者测量100m差了1m 后者是测量了1000m差了1m 为了描述测量的准确程度而引出相对误差的定义 相对误差 误差 真值当误差较小时 有相对误差 误差 给出值 2 相对误差 测量的绝对误差与被测量的真值之比 绝对误差很小 定义 表示 百分数 分子分母量纲相同 例 质量G1 50g 误差 1 2g 质量G2 2kg 误差 2 50g G2的测量效果较好 确切反映测量效果 被测量的大小不同 允许的测量误差不同 被测量的量值小 允许的测量绝对误差也越小 相对误差 0 0002 0 2175 100 0 092 相对误差 0 0002 2 1750 100 0 0092 0 092 由此可知 绝对误差相等 而相对误差可能差异很大 称取的物质量越大 相对误差越小 用相对误差能更好 更确切地反映测定结果的准确度 例 用分析天平称取两物体的重量各为2 1750g和0 2175g 分析天平的误差为 0 1mg 计算两次结果的相对误差各为多少 引用误差引用误差常常在多挡和连续分度的仪器中应用 这类仪器可测范围不是一个点而是一个量程 为了便于计算和划分准确度等级 引出引用误差定义 引用误差仪器示值的绝对误差与测量范围上限值或量程之比值 以百分数表示 例1 4测量上限为19613 3N的工作测力计 拉力表 在标定值 示值 为14710N的实际作用力为14788N 则此测力计在这一点的引用误差为 14710 14788 19613 3 0 4 例1 5某待测的电压约为1V 现有0 5级0 300V和1 0级0 100V两个电压表 问用哪一个电压表测量较好 解用0 5级电压表测时 最大相对误差为用1 0级电压表测时 最大相对误差为此例说明 如果量程选择恰当 用1 0级仪表进行测量也会比用0 5级仪表测量时的最大相对误差还要小 因此 在选用仪表时 要纠正单纯追求难确度等级 越高越好 的倾向 而应根据被测量的大小 兼顾仪表的等级和测量上限或量程来合理地选择仪表 二 误差的来源 1 测量装置误差其中包括 1 标准量具误差 2 仪器误差 3 附件误差 2 环境误差由于各种环境因素与规定的标准状况不一致而引起的误差 常常成为新的重要的误差源 3 方法误差由于测量方法或计算方法不完善所引起的误差 4 人员误差 三 误差的表现及分类 1 系统误差 systematicerrors determinateerror 定义在相同的条件下 多次测量同一量值时 绝对值和符号保持不变 或在条件改变时 按一定规律变化的误差称为系统误差 2 随机误差 accidentalerror indeterminateerror 定义在同一测量条件下 多次测量同一量值时 绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差称为随机误差 随机误差的大小用标准偏差表示 3 粗大误差 定义超出在规定条件下预期的误差 或称为 寄生误差 1 4准确度 精密度和精确度 不同场合 检测精度要求不同 例 服装裁剪 身长 胸围 半厘米 发动机活塞直径 微米级 精度高 系统复杂 造价高 例 坐标原点 真值点的位置点 多次测量结果 1 准确度Accuracy表示测量结果中系统误差的影响程度 表征测量结果接近真值的程度 2 精密度Precision表示测量结果中随机误差的影响程度 反映测量结果的分散程度 针对重复测量而言 3 精确度表示测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度 表征测量结果与真值之间的一致程度 1 5误差与数据的表达一 有效数字含有误差的任何近似数 如果其绝对误差是最末位的半个单位 那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字 称为第一位有效数字 从第一位有效数字起到最末一位数字上的所有数字 不论是零或者是非零的数字 都叫有效数字 二 数字舍入规则 对于位数很多的近似数 当有效数字的位数确定后 其后面的多余的数字应予以舍去 而保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整 1 若舍去部分的数值大于保留部分的末位的半个单位 则末位为1 2 若舍去部分的数值小于保留部分的末位的半个单位 则末位不变 3 若舍去部分的数值等于保留部分的末位的半个单位 则末位凑成偶 即当末位为偶数时末位不变 当末位为奇数时则末位加1 总结 图形 口诀 49舍 51入 50凑成偶 例1 9按上述舍入规则 将下面各个数据保留四位有效数字进行凑整 原有数据舍人后数据3 141593 1422 717292 7174 510504 5103 215503 2166 3785016 3787 6914997 69l5 434605 435 三 数据运算规则 在近似运算中 为了保证最后结果有尽可能高的精度 所有参与运算的数据在有效数字后可保留一位数字作为参考数字 或者称为安全数字 1 在近似数加减运算时 各运算数据以小数位数最少的数据位数为准 其余各数据可多取一位小数 但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同 2 在近似数乘除法运算时 各运算数据以有效位数最少的数据位数为准 其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字 而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同 3 在近似数平方或开方运算时 平方相当于乘法运算 开方是平方的逆运算 故可按乘除运算处理 4 在对数运算时 n位有效数字的数据应该用n位对数表 或用 n 1 位对数表 以免损失精度 5 在三角函数运算中 所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多 2643 0 987 7 4 187 0 2354 3635 13 3635 115 13X4 12 62 3356 62 3记录数据时 不可随便增 减 零 对测量数据而言 尽管它们在数字上相等 8 605cm 8 6050cm 要特别强调的是 记录原始测量数据时 一定要反映出测量器具的测量精度 总结 数据的有效数字及舍入规则 1 数据有效数字 位数 不确定度 一位到二位 2 数字的舍入规则 如 测量结果l 4 2958mm 极限误差 lim 0 015mm 一般数据 按有效数字取舍数据的位数 l 4 296mm 四舍六入五凑双 加减运算 小数点后位数最少的数据 一般数据 精度数据 标准差 极限误差 数据 最末一位取与不确定度末位同一量级 按书写数字 数据误差 半个单位以内 如 2 38 0 005 0 082 0 0005 只入不舍 如 极限误差0 22 0 3 一位有效数字 3 数字运算规则 乘除运算 有效数字位数最少的数据 4 286 1 32 0 4563 5 1497 5 15 462 8 0 64 1 22 242 78033 2 4 102